Номер 495, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

495. Биссктриса, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее в отношении $2 : 5$. Выясните, в каком отношении делит гипотенузу проведенная к ней высота.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов как $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы — $AB = c$.

Пусть $CL$ — биссектриса, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По условию, биссектриса делит гипотенузу на отрезки в отношении $2:5$. Пусть точка $L$ делит гипотенузу на отрезки $AL$ и $LB$, так что $AL : LB = 2:5$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $CL$ это свойство записывается так: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{AL}{LB} $$ Подставляя данное в условии отношение, получаем отношение катетов: $$ \frac{b}{a} = \frac{2}{5} $$

Теперь рассмотрим высоту $CH$, проведенную из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Эта высота делит гипотенузу на отрезки $AH$ и $HB$, которые являются проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу соответственно. Нам необходимо найти отношение $AH : HB$.

В прямоугольном треугольнике существуют метрические соотношения, связывающие его элементы. В частности, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $$ AC^2 = AH \cdot AB \implies b^2 = AH \cdot c $$ $$ BC^2 = HB \cdot AB \implies a^2 = HB \cdot c $$

Чтобы найти искомое отношение $AH : HB$, разделим одно равенство на другое: $$ \frac{AH \cdot c}{HB \cdot c} = \frac{b^2}{a^2} $$ $$ \frac{AH}{HB} = \frac{b^2}{a^2} = \left(\frac{b}{a}\right)^2 $$

Мы уже нашли, что отношение катетов $\frac{b}{a} = \frac{2}{5}$. Подставим это значение в полученное выражение: $$ \frac{AH}{HB} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} $$ Следовательно, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее в отношении $4:25$.

Ответ: $4:25$.