Номер 497, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

497. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, у которых наибольшие биссектрисы равны 5 см и 12 см. Найдите наибольшую биссектрису треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Эта высота делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Все три треугольника — $\triangle ABC$, $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$ — подобны друг другу. Это следует из равенства углов. Пусть $\angle A = \alpha$, тогда $\angle B = 90^\circ - \alpha$. В треугольнике $\triangle ACH$ углы равны $\alpha$, $90^\circ$ и $\angle ACH = 90^\circ - \alpha = \angle B$. В треугольнике $\triangle BCH$ углы равны $90^\circ - \alpha$, $90^\circ$ и $\angle BCH = \alpha = \angle A$. Таким образом, все три треугольника имеют одинаковые углы $(\alpha, 90^\circ - \alpha, 90^\circ)$ и, следовательно, подобны.

В любом треугольнике наибольшая биссектриса проведена к наименьшему углу. Пусть, без ограничения общности, $\alpha$ является наименьшим острым углом в треугольнике $ABC$, то есть $\alpha \le 45^\circ$. Тогда наименьший угол во всех трех подобных треугольниках равен $\alpha$. Следовательно, наибольшие биссектрисы в этих треугольниках являются биссектрисами угла $\alpha$ и являются соответствующими элементами в подобных треугольниках.

Пусть $L$ — длина наибольшей биссектрисы исходного треугольника $\triangle ABC$. Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины наибольших биссектрис треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$ соответственно. По условию задачи, $l_1=5$ см и $l_2=12$ см.

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в данном случае, наибольших биссектрис) равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия можно выразить через отношение гипотенуз. Коэффициент подобия между $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$ равен $k_1 = \frac{AC}{AB}$. Коэффициент подобия между $\triangle BCH$ и $\triangle ABC$ равен $k_2 = \frac{BC}{AB}$.

Следовательно, мы можем записать соотношения для длин биссектрис:$l_1 = k_1 \cdot L \implies 5 = \frac{AC}{AB} \cdot L$$l_2 = k_2 \cdot L \implies 12 = \frac{BC}{AB} \cdot L$

Из этих уравнений выразим отношения катетов к гипотенузе исходного треугольника:$\frac{AC}{AB} = \frac{5}{L}$$\frac{BC}{AB} = \frac{12}{L}$

Для исходного прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора имеем:$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Разделим обе части этого равенства на $AB^2$:$(\frac{AC}{AB})^2 + (\frac{BC}{AB})^2 = 1$

Теперь подставим выражения для отношений сторон, полученные ранее:$(\frac{5}{L})^2 + (\frac{12}{L})^2 = 1$

Решим полученное уравнение:$\frac{25}{L^2} + \frac{144}{L^2} = 1$$\frac{25 + 144}{L^2} = 1$$\frac{169}{L^2} = 1$$L^2 = 169$$L = \sqrt{169} = 13$ см.

Таким образом, наибольшая биссектриса исходного треугольника равна 13 см.

Ответ: 13 см.