Номер 501, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

501. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит ее на части 3 см и 2 см, если считать от вершины. Найдите эту высоту и периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$. Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины $A$ к боковой стороне $BC$.

По условию задачи, высота $AH$ делит сторону $BC$ на два отрезка, считая от вершины. Вершина между равными сторонами — это $B$. Таким образом, точка $H$ лежит на стороне $BC$, и мы имеем $BH = 3$ см и $HC = 2$ см.

Найдем длину боковой стороны $BC$. Она равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота:
$BC = BH + HC = 3 + 2 = 5$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то его боковые стороны равны:
$AB = BC = 5$ см.

Высота

Рассмотрим треугольник $ABH$. Он является прямоугольным, так как $AH$ — высота ($∠AHB = 90°$). В этом треугольнике гипотенуза $AB = 5$ см, а катет $BH = 3$ см. Второй катет $AH$ — это искомая высота. Для ее нахождения применим теорему Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

Выразим и вычислим $AH$:
$AH^2 = AB^2 - BH^2$
$AH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
$AH = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Периметр треугольника

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC$. Мы уже знаем, что $AB = 5$ см и $BC = 5$ см. Из предыдущего пункта мы нашли высоту $AH = 4$ см. Осталось найти длину основания $AC$.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ ($∠AHC = 90°$). В нем катеты $AH = 4$ см и $HC = 2$ см. Гипотенуза $AC$ является основанием исходного треугольника. Снова применим теорему Пифагора: $AC^2 = AH^2 + HC^2$.

Вычислим $AC$:
$AC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
$AC = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь можем вычислить периметр:
$P = AB + BC + AC = 5 + 5 + 2\sqrt{5} = 10 + 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $10 + 2\sqrt{5}$ см.