Номер 506, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

506. Найдите сторону треугольника, учитывая, что:

а) две другие его стороны равны 5 см и 6 см, а площадь треугольника — $12 \text{ см}^2$;

б) две другие его стороны равны 10 м и 17 м, а радиус описанной окружности — $10\frac{5}{8} \text{ м}$.

а) Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 5$ см и $b = 6$ см, а его площадь $S = 12$ см². Требуется найти третью сторону $c$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Подставим известные значения:

$12 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \gamma$

$12 = 15 \sin \gamma$

Отсюда находим синус угла $\gamma$:

$\sin \gamma = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$, найдем косинус этого угла:

$\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Следовательно, $\cos \gamma = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$. Это означает, что угол $\gamma$ может быть как острым ($\cos \gamma > 0$), так и тупым ($\cos \gamma < 0$). Рассмотрим оба случая.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

1. Если $\cos \gamma = \frac{3}{5}$ (угол $\gamma$ острый):

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{3}{5} = 25 + 36 - 36 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Если $\cos \gamma = -\frac{3}{5}$ (угол $\gamma$ тупой):

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot (-\frac{3}{5}) = 25 + 36 + 36 = 97$

$c = \sqrt{97}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $5$ см или $\sqrt{97}$ см.

б) Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 10$ м и $b = 17$ м. Радиус описанной окружности $R = 10\frac{5}{8} = \frac{85}{8}$ м. Требуется найти третью сторону $c$.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, противолежащие сторонам $a$, $b$ и $c$ соответственно. Воспользуемся расширенной теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

Найдем синусы углов $\alpha$ и $\beta$:

$\sin \alpha = \frac{a}{2R} = \frac{10}{2 \cdot \frac{85}{8}} = \frac{10}{\frac{85}{4}} = \frac{40}{85} = \frac{8}{17}$

$\sin \beta = \frac{b}{2R} = \frac{17}{2 \cdot \frac{85}{8}} = \frac{17}{\frac{85}{4}} = \frac{68}{85} = \frac{4}{5}$

Теперь найдем возможные значения косинусов этих углов:

$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17}$

$\cos \beta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \pm \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

В треугольнике не может быть более одного тупого угла. Рассмотрим возможные комбинации.

Сторону $c$ найдем по теореме косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$, где $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$, следовательно, $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta) = \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta$.

1. Оба угла $\alpha$ и $\beta$ острые ($\cos \alpha = \frac{15}{17}$, $\cos \beta = \frac{3}{5}$).

$\cos \gamma = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} - \frac{45}{85} = -\frac{13}{85}$.

Угол $\gamma$ тупой, что допустимо. Найдем $c$:

$c^2 = 10^2 + 17^2 - 2 \cdot 10 \cdot 17 \cdot (-\frac{13}{85}) = 100 + 289 + \frac{340 \cdot 13}{85} = 389 + 4 \cdot 13 = 389 + 52 = 441$

$c = \sqrt{441} = 21$ м.

2. Угол $\alpha$ острый, а угол $\beta$ тупой ($\cos \alpha = \frac{15}{17}$, $\cos \beta = -\frac{3}{5}$).

$\cos \gamma = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{15}{17} \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85}$.

Угол $\gamma$ острый, что допустимо. Найдем $c$:

$c^2 = 10^2 + 17^2 - 2 \cdot 10 \cdot 17 \cdot \frac{77}{85} = 100 + 289 - \frac{340 \cdot 77}{85} = 389 - 4 \cdot 77 = 389 - 308 = 81$

$c = \sqrt{81} = 9$ м.

3. Угол $\alpha$ тупой, а угол $\beta$ острый ($\cos \alpha = -\frac{15}{17}$, $\cos \beta = \frac{3}{5}$).

В этом случае сумма углов $\alpha + \beta$ будет больше $180^\circ$ ($\arccos(-\frac{15}{17}) \approx 151.9^\circ$, $\arccos(\frac{3}{5}) \approx 53.1^\circ$), что невозможно для треугольника.

Таким образом, задача также имеет два решения.

Ответ: $21$ м или $9$ м.