Номер 510, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

510. Есть правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2. Угол при вершине между ребрами одной грани равен $\alpha$. Через центр основания проведена плоскость, параллельная боковой грани. Найдите периметр и площадь полученного сечения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании со стороной $a=2$. Пусть $O$ — центр основания. Угол при вершине боковой грани, например, $\angle BSC$, равен $\alpha$. Секущая плоскость $\gamma$ проходит через точку $O$ и параллельна плоскости грани $SBC$.

Для построения сечения воспользуемся свойствами параллельных плоскостей.

1. Плоскость сечения $\gamma$ параллельна плоскости $(SBC)$. Плоскость основания $(ABC)$ пересекает плоскость $(SBC)$ по прямой $BC$. Следовательно, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой, параллельной $BC$. Так как эта прямая проходит через центр основания $O$, она соединяет середины сторон $AB$ и $CD$. Обозначим эти точки как $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, $P$ — середина $AB$, а $Q$ — середина $CD$. Отрезок $PQ$ является одной из сторон сечения, и его длина равна стороне квадрата: $PQ = BC = 2$.
2. Плоскость боковой грани $(SAB)$ пересекается с плоскостью $(SBC)$ по ребру $SB$. Так как $\gamma \parallel (SBC)$, то плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $(SAB)$ по прямой, параллельной $SB$. Эта прямая проходит через точку $P \in \gamma \cap AB$. Пусть $R$ — точка пересечения этой прямой с ребром $SA$. Тогда $PR \parallel SB$. Поскольку $P$ — середина стороны $AB$ в треугольнике $SAB$, то по теореме о средней линии (или теореме Фалеса), точка $R$ является серединой ребра $SA$.
3. Аналогично, плоскость грани $(SCD)$ пересекается с $(SBC)$ по ребру $SC$. Плоскость $\gamma$ пересекает $(SCD)$ по прямой, параллельной $SC$ и проходящей через точку $Q$. Пусть $T$ — точка пересечения этой прямой с ребром $SD$. Тогда $QT \parallel SC$. Так как $Q$ — середина $CD$, то $T$ — середина $SD$.
4. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $PRTQ$. Отрезок $RT$ соединяет середины сторон $SA$ и $SD$ в треугольнике $SAD$. Следовательно, $RT$ — средняя линия треугольника $SAD$. Отсюда $RT \parallel AD$ и $RT = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
5. Поскольку в основании лежит квадрат, то $AD \parallel BC$. Так как $PQ \parallel BC$ и $RT \parallel AD$, то $PQ \parallel RT$. Это означает, что сечение $PRTQ$ является трапецией.
6. Так как пирамида правильная, боковые грани $SAB$ и $SCD$ являются равными равнобедренными треугольниками. Отрезки $PR$ и $QT$ являются соответствующими элементами в этих треугольниках (соединяют середину ребра основания с серединой бокового ребра). Следовательно, $PR = QT$, и трапеция $PRTQ$ — равнобедренная.

Итак, сечение представляет собой равнобедренную трапецию $PRTQ$ с основаниями $PQ = 2$ и $RT = 1$.

Периметр трапеции $P_{PRTQ}$ равен сумме длин всех ее сторон: $P_{PRTQ} = PQ + RT + PR + QT$. Так как трапеция равнобедренная ($PR=QT$), то $P_{PRTQ} = 2 + 1 + 2 \cdot PR = 3 + 2 \cdot PR$. Найдем длину боковой стороны $PR$. Сначала определим длину бокового ребра пирамиды. В равнобедренном треугольнике $SBC$ ($BC=2$, $\angle BSC = \alpha$), боковое ребро $SC$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой (апофемой) из вершины $S$. Пусть $K$ - середина $BC$. Тогда $KC = 1$ и $\angle KSC = \alpha/2$. Длина бокового ребра $l = SC = \frac{KC}{\sin(\angle KSC)} = \frac{1}{\sin(\alpha/2)}$. Теперь рассмотрим треугольник $SAR$. Точка $P$ - середина $AB$. В треугольнике $APR$ известны стороны $AP = \frac{1}{2}AB = 1$ и $AR = \frac{1}{2}SA = \frac{l}{2}$. Угол $\angle RAP$ (он же $\angle SAB$) — это угол при основании равнобедренного треугольника $SAB$, который равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. По теореме косинусов для треугольника $APR$:$PR^2 = AP^2 + AR^2 - 2 \cdot AP \cdot AR \cdot \cos(\angle RAP)$$PR^2 = 1^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)$$PR^2 = 1 + \frac{l^2}{4} - l \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$Подставим $l = \frac{1}{\sin(\alpha/2)}$:$PR^2 = 1 + \frac{1}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{1}{\sin(\alpha/2)} \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \frac{1}{4\sin^2(\alpha/2)} - 1 = \frac{1}{4\sin^2(\alpha/2)}$Отсюда $PR = \frac{1}{2\sin(\alpha/2)}$. Периметр сечения:$P_{PRTQ} = 3 + 2 \cdot PR = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2\sin(\alpha/2)} = 3 + \frac{1}{\sin(\alpha/2)}$.
Ответ: $3 + \frac{1}{\sin(\alpha/2)}$

Площадь трапеции $S_{PRTQ}$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.$S_{PRTQ} = \frac{PQ+RT}{2} \cdot h_{\text{трап}} = \frac{2+1}{2} \cdot h_{\text{трап}} = \frac{3}{2}h_{\text{трап}}$. Высота трапеции $h_{\text{трап}}$ — это расстояние между основаниями $PQ$ и $RT$. Пусть $M$ — середина $PQ$ (совпадает с центром основания $O$), а $N$ — середина $RT$. Тогда высота трапеции равна длине отрезка $MN$. Рассмотрим треугольник $SAD$. $RT$ — его средняя линия. Апофема грани $SAD$, проведенная из вершины $S$ к середине $L$ стороны $AD$, проходит через точку $N$, причем $N$ — середина апофемы $SL$. Таким образом, высота трапеции $h_{\text{трап}} = MN$ может быть найдена как длина медианы $ON$ в треугольнике $SOL$. Найдем стороны треугольника $SOL$. $OL = \frac{1}{2}AB = 1$. Апофема боковой грани $SL$ равна апофеме $SK$ грани $SBC$. В прямоугольном треугольнике $SKC$, $SK = \frac{KC}{\tan(\angle KSC)} = \frac{1}{\tan(\alpha/2)} = \cot(\alpha/2)$. Итак, $SL = \cot(\alpha/2)$. Высота пирамиды $SO = h$. Из прямоугольного треугольника $SOL$: $h^2 = SL^2 - OL^2 = \cot^2(\alpha/2) - 1$. Отрезок $ON$ является медианой треугольника $SOL$ к стороне $SL$. Длина медианы вычисляется по формуле:$ON^2 = \frac{2(SO^2 + OL^2) - SL^2}{4} = \frac{2(h^2 + 1^2) - SL^2}{4} = \frac{2((\cot^2(\alpha/2) - 1) + 1) - \cot^2(\alpha/2)}{4} = \frac{2\cot^2(\alpha/2) - \cot^2(\alpha/2)}{4} = \frac{\cot^2(\alpha/2)}{4}$. Следовательно, $ON = \frac{1}{2}\cot(\alpha/2)$. Итак, высота трапеции $h_{\text{трап}} = \frac{1}{2}\cot(\alpha/2)$. Площадь сечения:$S_{PRTQ} = \frac{3}{2}h_{\text{трап}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\cot(\alpha/2) = \frac{3}{4}\cot(\alpha/2)$.
Ответ: $\frac{3}{4}\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$