Номер 509, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

509. Определите, существует ли треугольник, высоты которого равны:

а) 3 см, 4 см и 5 см;

б) 1 см, 1 см и 3 см;

в) 5 см, 10 см и 12 см.

Для решения этой задачи воспользуемся связью между сторонами треугольника ($a, b, c$), его площадью ($S$) и высотами ($h_a, h_b, h_c$), проведенными к этим сторонам. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$

Из этого соотношения мы можем выразить длины сторон через площадь и высоты:

$a = \frac{2S}{h_a}$, $b = \frac{2S}{h_b}$, $c = \frac{2S}{h_c}$

Это означает, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам. Треугольник существует тогда и только тогда, когда его стороны удовлетворяют неравенству треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Вместо того чтобы проверять неравенство для самих сторон, мы можем проверить его для величин, которым они пропорциональны, то есть для обратных высот: $\frac{1}{h_a}$, $\frac{1}{h_b}$ и $\frac{1}{h_c}$.

Чтобы проверить, могут ли три отрезка образовать треугольник, достаточно убедиться, что сумма длин двух более коротких отрезков больше длины самого длинного. Применим этот принцип к обратным величинам высот.

Даны высоты $h_1 = 3$, $h_2 = 4$, $h_3 = 5$. Найдем обратные им величины: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$. Чтобы проверить неравенство треугольника, сравним сумму двух меньших чисел с наибольшим. Наибольшая из этих дробей $\frac{1}{3}$. Проверим, выполняется ли неравенство: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} > \frac{1}{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$

Теперь сравним $\frac{9}{20}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 60:

$\frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}$ и $\frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{20}{60}$

Так как $\frac{27}{60} > \frac{20}{60}$, неравенство $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} > \frac{1}{3}$ верно. Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: существует.

Даны высоты $h_1 = 1$, $h_2 = 1$, $h_3 = 3$. Обратные им величины: $\frac{1}{1}=1$, $\frac{1}{1}=1$, $\frac{1}{3}$. Два наибольших числа равны 1, наименьшее - $\frac{1}{3}$. Проверим неравенство треугольника для этих величин. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей. Поскольку у нас два одинаковых "наибольших" значения, выберем одно из них как наибольшее, а два других (включая второе такое же) — как меньшие. Проверим: $1 + \frac{1}{3} > 1$.

$\frac{4}{3} > 1$

Неравенство верно. Следовательно, такой треугольник существует (это будет равнобедренный треугольник).

Ответ: существует.

Даны высоты $h_1 = 5$, $h_2 = 10$, $h_3 = 12$. Обратные им величины: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{12}$. Наибольшая из этих дробей - $\frac{1}{5}$. Проверим, выполняется ли неравенство для суммы двух других: $\frac{1}{10} + \frac{1}{12} > \frac{1}{5}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю 60:

$\frac{6}{60} + \frac{5}{60} = \frac{11}{60}$

Теперь сравним $\frac{11}{60}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем $\frac{1}{5}$ к знаменателю 60:

$\frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{12}{60}$

Так как $\frac{11}{60} < \frac{12}{60}$, неравенство $\frac{1}{10} + \frac{1}{12} > \frac{1}{5}$ неверно. Следовательно, такой треугольник не существует.

Ответ: не существует.