Номер 508, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

508. Найдите наименьшее и наибольшее рас-стояния:

a) точки $M$ от точек окружности с радиу-сом $r$, учитывая, что точка $M$ удалена отцентра окружности на $a$;

б) между точками окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$, учитывая, чторасстояние между их центрами равно $d$;

в) между точками прямой и окружности с радиусом $r$, учитывая, чтопрямая удалена от центра окружности на $d$.

а)

Пусть O — центр окружности, r — ее радиус. Точка M находится на расстоянии a от центра O, то есть $OM = a$. Пусть P — произвольная точка на окружности, тогда $OP = r$. Мы ищем наименьшее и наибольшее значения расстояния $MP$.

Рассмотрим треугольник MOP. По неравенству треугольника, $ |OM - OP| \le MP \le OM + OP $.

Подставляя известные значения, получаем: $ |a - r| \le MP \le a + r $.

Равенства в этом неравенстве достигаются, когда точки M, O и P лежат на одной прямой.

Наименьшее расстояние будет до точки на окружности, которая лежит на прямой, соединяющей M и O. Это расстояние равно модулю разности расстояния от M до центра и радиуса: $d_{min} = |a - r|$.

Наибольшее расстояние будет до точки на окружности, которая также лежит на прямой MO, но с другой стороны от центра. Это расстояние равно сумме расстояния от M до центра и радиуса: $d_{max} = a + r$.

Ответ: наименьшее расстояние равно $|a - r|$, наибольшее расстояние равно $a + r$.

б)

Пусть есть две окружности: первая с центром $O_1$ и радиусом $r_1$, вторая с центром $O_2$ и радиусом $r_2$. Расстояние между центрами $O_1O_2 = d$. Пусть $P_1$ — точка на первой окружности, а $P_2$ — на второй. Мы ищем наименьшее и наибольшее расстояние $P_1P_2$.

Наибольшее расстояние всегда достигается на прямой, проходящей через центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Точки $P_1$ и $P_2$ должны находиться на этой прямой по разные стороны от отрезка $O_1O_2$. Наибольшее расстояние будет суммой расстояния между центрами и радиусов обеих окружностей: $d_{max} = O_1P_1 + O_1O_2 + O_2P_2 = r_1 + d + r_2$.

Наименьшее расстояние зависит от взаимного расположения окружностей. Оно всегда достигается на прямой, проходящей через центры окружностей, за исключением случая, когда окружности пересекаются.

1. Если окружности пересекаются или касаются (внешне или внутренне), то у них есть хотя бы одна общая точка. В этом случае наименьшее расстояние между их точками равно 0. Условие пересечения или касания: $|r_1 - r_2| \le d \le r_1 + r_2$.
2. Если окружности не пересекаются и не касаются, возможны два случая:
   • Окружности расположены одна вне другой. Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы радиусов: $d > r_1 + r_2$. Наименьшее расстояние будет между точками окружностей, лежащими на отрезке $O_1O_2$. Оно равно $d_{min} = d - r_1 - r_2$.
   • Одна окружность находится внутри другой. Это происходит, когда расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов: $d < |r_1 - r_2|$. Наименьшее расстояние также будет между точками на прямой $O_1O_2$. Оно равно $d_{min} = |r_1 - r_2| - d$.

Ответ:
Наибольшее расстояние: $d_{max} = d + r_1 + r_2$.
Наименьшее расстояние:
- $0$, если $|r_1 - r_2| \le d \le r_1 + r_2$;
- $d - r_1 - r_2$, если $d > r_1 + r_2$;
- $|r_1 - r_2| - d$, если $d < |r_1 - r_2|$.

в)

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r, и прямая l. Расстояние от центра O до прямой l равно d. Это означает, что если мы опустим перпендикуляр из O на прямую l, его длина будет равна d. Пусть H — основание этого перпендикуляра на прямой l, тогда $OH = d$.

Наибольшее и наименьшее расстояние от точек окружности до прямой l будут достигаться на прямой, проходящей через центр O и перпендикулярной прямой l.

Наименьшее расстояние. Оно зависит от того, пересекается ли окружность с прямой.

• Если прямая не пересекает окружность, что имеет место при $d > r$, то ближайшая точка окружности к прямой — это точка A, лежащая на отрезке OH. Расстояние от этой точки до прямой l (до точки H) равно $AH = OH - OA = d - r$.
• Если прямая касается окружности ($d = r$) или пересекает ее ($d < r$), то существуют точки, общие для окружности и прямой. В этих случаях наименьшее расстояние равно 0.

Эти два случая можно объединить в одну формулу: $d_{min} = \max(0, d - r)$.

Наибольшее расстояние. Следует уточнить, что под "расстоянием между точками прямой и окружности" в данном контексте понимается расстояние от точки окружности до ближайшей к ней точки на прямой (т.е. длина перпендикуляра). Если бы имелось в виду расстояние между произвольной точкой на окружности и произвольной точкой на бесконечной прямой, оно могло бы быть бесконечно большим.

Наиболее удаленная от прямой l точка окружности — это точка B, которая лежит на прямой OH с другой стороны от центра O. Расстояние от точки B до прямой l равно сумме радиуса и расстояния от центра до прямой:

$d_{max} = BO + OH = r + d$.

Ответ: наименьшее расстояние равно $\max(0, d - r)$, наибольшее расстояние равно $d + r$.