Номер 503, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

503. Найдите биссектрису угла треугольника, учитывая, что этот угол равен $120^\circ$, а прилежащие к нему стороны — 6 см и 12 см.

503.

Для нахождения длины биссектрисы угла треугольника воспользуемся методом, основанным на вычислении площади.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 120^\circ$, а прилежащие к нему стороны $AB = 12$ см и $AC = 6$ см. Проведем биссектрису $AD$ из вершины угла $A$. Обозначим искомую длину биссектрисы $AD$ как $l_a$.

Биссектриса $AD$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Площадь большего треугольника равна сумме площадей двух меньших:
$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

Для вычисления площади каждого треугольника будем использовать формулу $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 36 \cdot \sin(120^\circ)$.

2. Так как $AD$ — биссектриса, она делит угол $\angle A$ пополам, поэтому:
$\angle BAD = \angle CAD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

3. Выразим площади треугольников $ABD$ и $ACD$ через длину биссектрисы $l_a$:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ)$.
$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ)$.

4. Теперь составим уравнение, подставив выражения для площадей в равенство $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$:
$36 \cdot \sin(120^\circ) = 6 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ) + 3 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ)$.
$36 \cdot \sin(120^\circ) = (6+3) \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ)$.
$36 \cdot \sin(120^\circ) = 9 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ)$.

5. Используем известное тригонометрическое свойство: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$.
Подставим это в наше уравнение:
$36 \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ)$.

Поскольку $\sin(60^\circ) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(60^\circ)$:
$36 = 9 \cdot l_a$.
Отсюда находим $l_a$:
$l_a = \frac{36}{9} = 4$.

Таким образом, длина биссектрисы равна 4 см.

Ответ: 4 см.