Номер 502, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

502. Высота равнобедренного треугольника разделена в отношении $2 : 3$, если считать от вершины. Через вершину основания и точку деления проведена прямая. Выясните, в каком отношении она делит боковую сторону.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AC$, то есть $AH = HC$.

По условию задачи, на высоте $BH$ отмечена точка $O$ такая, что она делит высоту в отношении $2:3$, считая от вершины $B$. Это означает, что $BO : OH = 2 : 3$. Мы можем записать это как $\frac{BO}{OH} = \frac{2}{3}$ или, что нам понадобится далее, $\frac{OH}{BO} = \frac{3}{2}$.

Через вершину основания $A$ и точку деления $O$ проведена прямая. Эта прямая пересекает боковую сторону $BC$ в некоторой точке $M$. Нам необходимо найти, в каком отношении точка $M$ делит сторону $BC$, то есть найти отношение $BM : MC$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник $HBC$ и секущую прямую $AOM$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $M$, сторону $BH$ в точке $O$ и продолжение стороны $HC$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $HBC$ и секущей $AOM$, выполняется следующее соотношение:

$\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CA}{AH} \cdot \frac{HO}{OB} = 1$

Найдем значения отношений, входящих в формулу.
1. Из условия задачи известно, что $BO : OH = 2 : 3$, следовательно, $\frac{HO}{OB} = \frac{3}{2}$.
2. Поскольку $H$ — середина основания $AC$ (так как $BH$ — медиана), то длина всего основания $AC$ в два раза больше длины отрезка $AH$, то есть $AC = 2 \cdot AH$. Отсюда получаем отношение $\frac{CA}{AH} = \frac{2 \cdot AH}{AH} = 2$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{BM}{MC} \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 1$

Упростим выражение, сократив множитель 2:

$\frac{BM}{MC} \cdot 3 = 1$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{BM}{MC} = \frac{1}{3}$

Таким образом, прямая, проведенная через вершину основания и точку деления высоты, делит боковую сторону в отношении $1:3$, считая от вершины треугольника, противолежащей основанию.

Ответ: $1:3$.