Номер 515, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

515*. Докажите, что центр шара, описанного около:

а) правильной призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы;

б) правильной пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Пусть дана правильная n-угольная призма $A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$, где $A_1A_2...A_n$ – нижнее основание, а $B_1B_2...B_n$ – верхнее основание.

Так как призма правильная, её основаниями являются равные правильные n-угольники, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть $O_1$ – центр нижнего основания, а $O_2$ – центр верхнего основания. Отрезок $O_1O_2$ является высотой призмы и её осью симметрии.

Пусть $O$ – центр шара, описанного около призмы. По определению, центр описанного шара – это точка, равноудалённая от всех вершин многогранника. То есть, расстояния от точки $O$ до всех вершин призмы равны радиусу шара $R$: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = OB_1 = OB_2 = ... = OB_n = R$.

Рассмотрим множество вершин нижнего основания $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$. Точка $O$ равноудалена от всех этих вершин. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин многоугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости этого многоугольника и проходящая через центр описанной около него окружности.

Поскольку основание $A_1A_2...A_n$ – правильный многоугольник, центр описанной около него окружности совпадает с центром многоугольника $O_1$. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $l_1$, проходящей через $O_1$ и перпендикулярной плоскости нижнего основания.

Аналогично, рассмотрим множество вершин верхнего основания $\{B_1, B_2, ..., B_n\}$. Точка $O$ равноудалена от них. Центром описанной окружности для правильного многоугольника $B_1B_2...B_n$ является точка $O_2$. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $l_2$, проходящей через $O_2$ и перпендикулярной плоскости верхнего основания.

Так как основания призмы параллельны, а прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны этим основаниям, то прямые $l_1$ и $l_2$ совпадают. Эта общая прямая проходит через центры оснований $O_1$ и $O_2$, то есть содержит отрезок $O_1O_2$. Таким образом, центр шара $O$ лежит на отрезке $O_1O_2$.

Теперь докажем, что $O$ – середина отрезка $O_1O_2$. Возьмем произвольную вершину нижнего основания $A_i$ и соответствующую ей вершину верхнего основания $B_i$. Соединим их с точкой $O$. Получим треугольники $\triangle OO_1A_i$ и $\triangle OO_2B_i$. Так как $O$ лежит на прямой $O_1O_2$ и $O_1A_i$ лежит в плоскости нижнего основания, а $O_1O_2$ перпендикулярен этой плоскости, то $\triangle OO_1A_i$ – прямоугольный с прямым углом $\angle OO_1A_i$. Аналогично, $\triangle OO_2B_i$ – прямоугольный с прямым углом $\angle OO_2B_i$.

По теореме Пифагора для этих треугольников:

$OA_i^2 = OO_1^2 + O_1A_i^2$

$OB_i^2 = OO_2^2 + O_2B_i^2$

Мы знаем, что $OA_i = OB_i = R$ (радиус описанного шара). Также, поскольку основания призмы – равные правильные многоугольники, радиусы описанных около них окружностей равны: $O_1A_i = O_2B_i = r_{осн}$.

Приравнивая выражения для $R^2$, получаем:

$OO_1^2 + r_{осн}^2 = OO_2^2 + r_{осн}^2$

$OO_1^2 = OO_2^2$

Так как длины отрезков неотрицательны, $OO_1 = OO_2$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $O_1O_2$, соединяющего центры оснований призмы.

Ответ: Утверждение доказано. Центр шара, описанного около правильной призмы, действительно лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Пусть дана правильная n-угольная пирамида $SA_1A_2...A_n$, где $S$ – вершина пирамиды, а $A_1A_2...A_n$ – её основание.

Так как пирамида правильная, её основанием является правильный n-угольник, а её вершина $S$ проецируется в центр этого основания, точку $O_{осн}$. Отрезок $SO_{осн}$ является высотой пирамиды.

Пусть $O$ – центр шара, описанного около пирамиды. По определению, точка $O$ равноудалена от всех вершин пирамиды, то есть расстояния от $O$ до всех вершин равны радиусу шара $R$:

$OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = OS = R$

Рассмотрим вершины основания $A_1, A_2, ..., A_n$. Так как точка $O$ равноудалена от них ($OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$), она принадлежит геометрическому месту точек пространства, равноудалённых от вершин многоугольника $A_1A_2...A_n$.

Этим геометрическим местом является прямая, перпендикулярная плоскости основания и проходящая через центр окружности, описанной около основания.

Поскольку основание $A_1A_2...A_n$ – правильный многоугольник, центр описанной около него окружности совпадает с его центром $O_{осн}$.

Следовательно, центр шара $O$ должен лежать на прямой, проходящей через точку $O_{осн}$ и перпендикулярной плоскости основания.

По определению правильной пирамиды, её высота (отрезок $SO_{осн}$) лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр $O_{осн}$.

Таким образом, прямая, на которой лежит центр шара $O$, совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды.

Ответ: Утверждение доказано. Центр шара, описанного около правильной пирамиды, действительно лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.