Номер 521, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

521*. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а боковое ребро — 2 см. Выясните, как по отношению к пирамиде расположен центр описанного около нее шара.

Для того чтобы определить положение центра описанного шара, необходимо сравнить его положение с вершиной и основанием пирамиды. Центр описанного шара всегда лежит на высоте правильной пирамиды. Найдем высоту пирамиды и расстояние от центра основания до центра шара.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около основания

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Сторона этого треугольника $a = 3$ см. Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляется по формуле:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 3$ см:

$R_{осн} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Это расстояние от центра основания (точки пересечения медиан, высот и биссектрис) до любой из вершин основания.

2. Нахождение высоты пирамиды

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, радиусом $R_{осн}$ и боковым ребром $l = 2$ см. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + R_{осн}^2$

Выразим и вычислим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - R_{осн}^2$

$h^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

$h = \sqrt{1} = 1$ см.

3. Нахождение положения центра описанного шара

Центр описанного шара $O$ равноудален от всех вершин пирамиды. Он лежит на высоте пирамиды $SH$ (где $S$ - вершина, $H$ - центр основания). Пусть $R_{ш}$ - радиус описанного шара.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через высоту и боковое ребро. Пусть расстояние от центра шара $O$ до плоскости основания равно $x$ (измеряется вдоль высоты $h$). Тогда расстояние от $O$ до вершины основания равно $R_{ш}$, и из прямоугольного треугольника с катетами $x$ и $R_{осн}$ получаем:

$R_{ш}^2 = x^2 + R_{осн}^2$

Расстояние от центра шара $O$ до вершины пирамиды $S$ также равно $R_{ш}$. Это расстояние равно $|h - x|$.

$R_{ш}^2 = (h - x)^2$

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 + R_{осн}^2 = (h - x)^2$

$x^2 + R_{осн}^2 = h^2 - 2hx + x^2$

$R_{осн}^2 = h^2 - 2hx$

Выразим $x$:

$2hx = h^2 - R_{осн}^2$

$x = \frac{h^2 - R_{осн}^2}{2h}$

Подставим найденные значения $h = 1$ и $R_{осн} = \sqrt{3}$:

$x = \frac{1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ см.

Знак "минус" означает, что центр описанного шара находится не между основанием и вершиной, а по другую сторону от основания, то есть вне пирамиды. Расстояние от центра основания до центра шара составляет 1 см.

Таким образом, центр описанного шара лежит на продолжении высоты пирамиды за ее основание.

Ответ: Центр описанного около пирамиды шара расположен вне пирамиды, на продолжении ее высоты на расстоянии 1 см от плоскости основания.