Номер 523, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

523*. В шар с радиусом $r$ вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой составляет с основанием пирамиды угол $\alpha$. Найдите это ребро.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар с центром $O_{сф}$ и радиусом $r$. Обозначим пирамиду $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. Пусть $L$ — длина бокового ребра (например, $SA$), которое нам нужно найти. Центр основания $O$ является точкой пересечения диагоналей квадрата.

По условию, боковое ребро составляет с основанием пирамиды угол $\alpha$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между самой прямой $SA$ и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AO$. Следовательно, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$ ($SA = SC = L$). Поскольку все вершины пирамиды ($S$, $A$, $B$, $C$, $D$) лежат на поверхности шара, то и вершины треугольника $SAC$ лежат на шаре. Таким образом, треугольник $SAC$ вписан в большую окружность данного шара, радиус которой равен $r$.

В треугольнике $SAC$ нам известны стороны $SA = SC = L$ и угол при основании $\angle SAC = \alpha$. Так как треугольник равнобедренный, то и $\angle SCA = \alpha$.

Воспользуемся расширенной теоремой синусов для треугольника $SAC$. Теорема гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около него окружности ($a / \sin A = 2R$).

Применительно к нашему треугольнику $SAC$ и его описанной окружности радиуса $r$, для стороны $SC=L$ и противолежащего ей угла $\angle SAC = \alpha$ имеем:

$\frac{SC}{\sin(\angle SAC)} = 2r$

Подставим известные величины в формулу:

$\frac{L}{\sin(\alpha)} = 2r$

Из этого соотношения выразим искомую длину бокового ребра $L$:

$L = 2r \cdot \sin(\alpha)$

Ответ: $2r \cdot \sin(\alpha)$.