Номер 525, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

525*. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол при основании треугольника — $\alpha$. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом $\varphi$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.

Пусть основанием пирамиды является равнобедренный треугольник ABC, в котором боковые стороны $AB = AC = a$, а углы при основании $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$. Угол при вершине A, противолежащей основанию BC, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\phi$, вершина пирамиды проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в треугольник основания. Центр шара, вписанного в пирамиду, лежит на высоте пирамиды $SO$ и является точкой пересечения высоты с биссектрисой двугранного угла при основании. Радиус $r$ вписанного шара можно найти по формуле $r = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\phi}{2})$, где $r_{осн}$ — радиус окружности, вписанной в основание.

Для нахождения $r_{осн}$ воспользуемся формулой $r_{осн} = \frac{S_{осн}}{p}$, где $S_{осн}$ — площадь треугольника основания, а $p$ — его полупериметр.

Найдем сначала длину основания BC треугольника. Проведем высоту AD из вершины A к основанию BC. В прямоугольном треугольнике ABD катет $BD = AB \cdot \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота AD является и медианой, поэтому $BC = 2 \cdot BD = 2a \cos(\alpha)$.

Теперь найдем полупериметр $p$ треугольника ABC:$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{a + a + 2a \cos(\alpha)}{2} = \frac{2a(1 + \cos(\alpha))}{2} = a(1 + \cos(\alpha))$.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле:$S_{осн} = \frac{1}{2} BC \cdot AD$. Высота $AD = a \sin(\alpha)$.$S_{осн} = \frac{1}{2} (2a \cos(\alpha)) (a \sin(\alpha)) = a^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Теперь можем вычислить радиус вписанной в основание окружности:$r_{осн} = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{a^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{a(1 + \cos(\alpha))} = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$.

Для удобства упростим это выражение, используя тригонометрические формулы половинного угла: $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.$r_{осн} = \frac{a \cdot (2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) \cdot \cos(\alpha)}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = a \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Наконец, найдем искомый радиус $r$ вписанного в пирамиду шара:$r = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\phi}{2}) = a \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\phi}{2})$.

Ответ: $r = a \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\phi}{2}\right)$.