Номер 519, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

519*. Найдите радиус шара, описанного около правильной пирамиды, у которой боковое ребро равно:

а) $b$ и составляет с основанием угол $\alpha$;

б) $l$, а высота — $h$.

а) Пусть $S$ — вершина правильной пирамиды, $O$ — центр ее основания (который является правильным многоугольником). Тогда $SO$ — высота пирамиды, обозначим ее $h$. Пусть $A$ — одна из вершин основания. Тогда $SA$ — боковое ребро, по условию его длина равна $b$. Угол, который боковое ребро составляет с основанием, — это угол $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. В нем:

• Гипотенуза $SA = b$ (боковое ребро).
• Катет $SO = h$ (высота пирамиды).
• Катет $AO = r_b$ (радиус окружности, описанной около основания).

Из определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:
$h = SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = b \sin \alpha$
$r_b = AO = SA \cdot \cos(\angle SAO) = b \cos \alpha$

Центр $O_c$ описанной около пирамиды сферы лежит на ее высоте $SO$. Пусть радиус этой сферы равен $R$. Тогда расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно $R$. Значит, $O_cS = R$ и $O_cA = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_cOA$. Его катеты — $OA = r_b$ и $O_cO$. Гипотенуза — $O_cA = R$. Расстояние $O_cO$ можно выразить через высоту $h$ и радиус $R$. Так как $O_c$ лежит на отрезке $SO$, то $O_cO = SO - O_cS = h - R$.
Применим теорему Пифагора к $\triangle O_cOA$:
$O_cA^2 = OA^2 + O_cO^2$
$R^2 = r_b^2 + (h - R)^2$
Раскроем скобки и упростим:
$R^2 = r_b^2 + h^2 - 2hR + R^2$
$0 = r_b^2 + h^2 - 2hR$
$2hR = r_b^2 + h^2$

В треугольнике $\triangle SOA$ по теореме Пифагора $SA^2 = SO^2 + AO^2$, то есть $b^2 = h^2 + r_b^2$. Подставим это в наше уравнение:
$2hR = b^2$
$R = \frac{b^2}{2h}$

Теперь подставим найденное ранее выражение для высоты $h = b \sin \alpha$:
$R = \frac{b^2}{2(b \sin \alpha)} = \frac{b}{2 \sin \alpha}$

Ответ: $R = \frac{b}{2 \sin \alpha}$

б) В этом случае нам даны боковое ребро $l$ и высота $h$. Мы можем использовать формулу, выведенную в предыдущем пункте.

Как было показано, для правильной пирамиды радиус описанной сферы $R$, высота пирамиды $h$ и длина бокового ребра $l$ связаны соотношением:
$2hR = l^2$
где $l^2 = h^2 + r_b^2$, а $r_b$ — радиус окружности, описанной около основания.

Из этого соотношения мы можем напрямую выразить радиус сферы $R$:
$R = \frac{l^2}{2h}$

Это и есть итоговая формула, так как все величины в правой части даны в условии задачи.

Ответ: $R = \frac{l^2}{2h}$