Номер 517, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

517*. Правильная $n$-угольная призма вписана в шар с радиусом $R$. Ребро основания призмы равно $a$. Найдите высоту призмы, учитывая, что:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 6$.

Пусть $h$ — искомая высота правильной $n$-угольной призмы, $R$ — радиус описанной около нее сферы, $a$ — сторона основания призмы. Так как призма вписана в сферу, все ее вершины лежат на поверхности сферы.

Центр сферы, описанной около правильной призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры ее оснований. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр сферы и одну из вершин призмы. В этом сечении мы получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина высоты призмы $\frac{h}{2}$ и радиус $r_c$ окружности, описанной около основания призмы, а гипотенузой — радиус сферы $R$.

По теореме Пифагора имеем соотношение:

$R^2 = (\frac{h}{2})^2 + r_c^2$

Из этого уравнения выразим высоту призмы $h$:

$(\frac{h}{2})^2 = R^2 - r_c^2$

$\frac{h}{2} = \sqrt{R^2 - r_c^2}$

$h = 2\sqrt{R^2 - r_c^2}$

Для решения задачи для каждого конкретного случая необходимо найти радиус $r_c$ окружности, описанной около многоугольника в основании.

а) n = 3;

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Радиус $r_c$ окружности, описанной около равностороннего треугольника, вычисляется по формуле $r_c = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ или $r_c = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим это значение в полученную формулу для высоты $h$:

$h = 2\sqrt{R^2 - r_c^2} = 2\sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = 2\sqrt{R^2 - \frac{a^2}{3}}$

Ответ: $2\sqrt{R^2 - \frac{a^2}{3}}$.

б) n = 4;

В основании призмы лежит правильный четырехугольник (квадрат) со стороной $a$. Радиус $r_c$ окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$, следовательно, $r_c = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Подставим это значение в формулу для высоты $h$:

$h = 2\sqrt{R^2 - r_c^2} = 2\sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{R^2 - \frac{a^2}{2}}$

Это выражение можно преобразовать, внеся множитель 2 под знак корня:

$h = \sqrt{4\left(R^2 - \frac{a^2}{2}\right)} = \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

Ответ: $\sqrt{4R^2 - 2a^2}$.

в) n = 6.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Особенностью правильного шестиугольника является то, что радиус описанной около него окружности равен длине его стороны, то есть $r_c = a$.

Подставим это значение в формулу для высоты $h$:

$h = 2\sqrt{R^2 - r_c^2} = 2\sqrt{R^2 - a^2}$

Ответ: $2\sqrt{R^2 - a^2}$.