Номер 511, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

511. В конус вписан цилиндр, полная поверхность которого равна боковой поверхности конуса. Наибольший угол между образующими конуса — прямой. Докажите, что вершина конуса отстоит от верхнего основания цилиндра на половину образующей конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$ и образующую как $L$. Для вписанного цилиндра обозначим радиус основания как $r$ и высоту как $h$.

По условию, наибольший угол между образующими конуса — прямой ($90^\circ$). Это означает, что осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике высота, опущенная на основание (гипотенузу $2R$), равна половине этого основания. Следовательно, высота конуса $H$ равна радиусу его основания $R$, то есть $H = R$.

Образующая конуса $L$ является боковой стороной (катетом) в этом равнобедренном прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$: $L^2 = H^2 + R^2$. Поскольку $H=R$, получаем: $L^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$, откуда $L = R\sqrt{2}$.

Рассмотрим осевое сечение всей композиции. Сечение цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в равнобедренный прямоугольный треугольник (сечение конуса). Малый конус, вершина которого совпадает с вершиной большого конуса, а основанием служит верхнее основание цилиндра, подобен исходному конусу. Высота малого конуса равна $H - h$, а радиус его основания равен $r$.

Из подобия треугольников в осевом сечении следует соотношение: $\frac{\text{высота малого конуса}}{\text{высота большого конуса}} = \frac{\text{радиус малого конуса}}{\text{радиус большого конуса}}$ $\frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}$ Подставив $H = R$, получим: $\frac{R-h}{R} = \frac{r}{R}$, что влечет за собой $R-h = r$, или $h = R-r$.

По условию задачи, полная поверхность цилиндра равна боковой поверхности конуса. Полная поверхность цилиндра ($S_{цил}$) вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2\pi rh + 2\pi r^2$. Боковая поверхность конуса ($S_{кон}$) вычисляется по формуле: $S_{кон} = \pi R L$.

Приравнивая их, получаем: $2\pi rh + 2\pi r^2 = \pi R L$ Разделим обе части уравнения на $\pi$: $2rh + 2r^2 = RL$

Теперь подставим в это равенство выражения для $h$ и $L$, которые мы нашли ранее: $h = R-r$ и $L = R\sqrt{2}$. $2r(R-r) + 2r^2 = R(R\sqrt{2})$ $2rR - 2r^2 + 2r^2 = R^2\sqrt{2}$ $2rR = R^2\sqrt{2}$ Поскольку радиус конуса $R > 0$, мы можем разделить обе части на $R$: $2r = R\sqrt{2}$ $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно доказать, что расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра равно половине образующей конуса. Это расстояние равно высоте малого конуса, то есть $H-h$. Найдем это расстояние, используя полученные соотношения: $H-h = R - (R-r) = r$. Из предыдущего шага мы знаем, что $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем половину образующей конуса: $\frac{L}{2} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что они равны: $H-h = r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{L}{2} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $H-h = \frac{L}{2}$. Это доказывает, что вершина конуса отстоит от верхнего основания цилиндра на половину образующей конуса.

Ответ: Что и требовалось доказать.