Номер 513, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

513. Площадь большого круга шара равна $50\pi \text{ см}^2$, а два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной $6 \text{ см}$. Найдите расстояние от центра шара до сечения, учитывая, что площадь одного из них равна $25\pi \text{ см}^2$.

Обозначим радиус шара через $R$. Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S_{бк} = \pi R^2$. По условию задачи, $S_{бк} = 50\pi$ см².
Следовательно, мы можем найти квадрат радиуса шара:
$\pi R^2 = 50\pi$
$R^2 = 50$ см².

В шаре есть два взаимно перпендикулярных сечения. Каждое сечение представляет собой круг. Пусть радиусы этих кругов-сечений равны $r_1$ и $r_2$, а расстояния от центра шара до плоскостей этих сечений равны $d_1$ и $d_2$ соответственно.

Площадь одного из сечений, назовем его первым, равна $S_1 = 25\pi$ см². Площадь этого сечения также вычисляется по формуле $S_1 = \pi r_1^2$.
$\pi r_1^2 = 25\pi$
$r_1^2 = 25$ см², откуда радиус первого сечения $r_1 = 5$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r_1$ и расстояние от центра шара до сечения $d_1$ связаны теоремой Пифагора: $R^2 = d_1^2 + r_1^2$. Подставим известные значения $R^2=50$ и $r_1^2=25$:
$50 = d_1^2 + 25$
$d_1^2 = 50 - 25 = 25$
$d_1 = \sqrt{25} = 5$ см.
Таким образом, расстояние от центра шара до первого сечения равно 5 см.

Два сечения взаимно перпендикулярны и имеют общую хорду длиной $L = 6$ см. Чтобы найти расстояние $d_2$ до второго сечения, воспользуемся связью между радиусом шара, расстояниями до сечений и длиной их общей хорды.
Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в центре шара. Пусть плоскости сечений заданы уравнениями $z = d_1$ и $y = d_2$ (такой выбор возможен, так как плоскости перпендикулярны). Уравнение сферы имеет вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.
Точки, принадлежащие общей хорде, лежат на сфере и в обеих плоскостях. Их координаты удовлетворяют уравнению:
$x^2 + d_2^2 + d_1^2 = R^2$
Отсюда $x^2 = R^2 - d_1^2 - d_2^2$.
Концы хорды имеют координаты $x = \pm\sqrt{R^2 - d_1^2 - d_2^2}$. Длина хорды $L$ равна расстоянию между этими точками:
$L = 2\sqrt{R^2 - d_1^2 - d_2^2}$
Половина длины хорды равна $L/2 = 3$ см. Тогда $(L/2)^2 = 9$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $L^2/4 = R^2 - d_1^2 - d_2^2$.
Подставим известные значения $L/2=3$, $R^2=50$ и $d_1^2=25$:
$9 = 50 - 25 - d_2^2$
$9 = 25 - d_2^2$
$d_2^2 = 25 - 9 = 16$
$d_2 = \sqrt{16} = 4$ см.
Следовательно, расстояние от центра шара до второго сечения равно 4 см.

Ответ: расстояния от центра шара до сечений равны 5 см и 4 см.