Номер 520, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

520. Высота правильной пирамиды равна $h$, а радиус описанной около основания окружности — $r$. Определите:

а) радиус описанного шара;

$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

б) при каком соотношении между $h$ и $r$ центр шара лежит внутри пирамиды; на ее основании; вне пирамиды.

Центр шара лежит внутри пирамиды, если $h > r$; на ее основании, если $h = r$; вне пирамиды, если $h < r$.

а) радиус описанного шара;

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину $S$, центр основания $O$ и одну из вершин основания $A$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO=h$ – высота пирамиды, а $OA=r$ – радиус окружности, описанной около основания.

Центр $O_{сф}$ описанного около пирамиды шара лежит на ее оси, то есть на прямой $SO$. Пусть $R$ – радиус описанного шара. Тогда расстояние от центра шара $O_{сф}$ до вершины пирамиды $S$ и до любой вершины основания $A$ одинаково и равно $R$.

$O_{сф}S = R$ и $O_{сф}A = R$.

Рассмотрим треугольник, образованный сечением шара, которое проходит через вершину $S$ и диаметр $AA'$ окружности, описанной около основания (где $A$ и $A'$ – две точки на этой окружности). Это будет равнобедренный треугольник $SA A'$ с основанием $AA' = 2r$ и высотой $SO = h$. Боковая сторона (ребро пирамиды) $SA$ находится из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора:

$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{h^2 + r^2}$

Окружность, описанная около треугольника $SA A'$, является большим кругом описанного шара, и ее радиус равен $R$. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле:

$R = \frac{abc}{4K}$

где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $K$ – его площадь. Для треугольника $SA A'$ имеем:

• Стороны: $SA = \sqrt{h^2+r^2}$, $SA' = \sqrt{h^2+r^2}$, $AA' = 2r$.
• Площадь: $K = \frac{1}{2} \cdot AA' \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = rh$.

Подставим эти значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{(\sqrt{h^2+r^2}) \cdot (\sqrt{h^2+r^2}) \cdot (2r)}{4 \cdot rh} = \frac{(h^2+r^2) \cdot 2r}{4rh}$

Сократив $2r$, получаем:

$R = \frac{h^2+r^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{h^2+r^2}{2h}$

б) при каком соотношении между $h$ и $r$ центр шара лежит внутри пирамиды; на ее основании; вне пирамиды.

Центр шара $O_{сф}$ лежит на высоте $SO$. Найдем его положение относительно основания пирамиды. Пусть расстояние от центра основания $O$ до центра шара $O_{сф}$ равно $d = OO_{сф}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_{сф}A$. Его катеты – $OA=r$ и $OO_{сф}=d$, а гипотенуза – $O_{сф}A = R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно $O_{сф}S = R$. Возможны два случая расположения $O_{сф}$ на прямой $SO$: между $O$ и $S$ или вне отрезка $OS$. Пусть $d$ будет положительным, если $O_{сф}$ находится между $O$ и $S$, и отрицательным, если $O_{сф}$ находится по другую сторону от $O$ (вне пирамиды).

Тогда $O_{сф}S = |h-d| = R$.

Приравняем квадраты радиусов:

$r^2 + d^2 = (h-d)^2$

$r^2 + d^2 = h^2 - 2hd + d^2$

$r^2 = h^2 - 2hd$

$2hd = h^2 - r^2$

$d = \frac{h^2-r^2}{2h}$

Эта формула определяет положение центра шара $O_{сф}$ относительно центра основания $O$. Положительное значение $d$ означает, что центр шара смещен от основания к вершине.

Теперь проанализируем положение центра шара:

1. Центр шара лежит внутри пирамиды.

   Это означает, что центр $O_{сф}$ находится строго между основанием $O$ и вершиной $S$. Для этого расстояние $d$ должно быть положительным и меньше высоты $h$: $0 < d < h$.

   $0 < \frac{h^2-r^2}{2h} < h$

   Так как $h>0$, умножим неравенство на $2h$:

   $0 < h^2-r^2 < 2h^2$

   Это распадается на два неравенства:

   • $h^2-r^2 > 0 \implies h^2 > r^2 \implies h > r$ (так как $h, r > 0$).
   • $h^2-r^2 < 2h^2 \implies -r^2 < h^2$. Это неравенство верно всегда, так как $h^2 > 0$ и $-r^2 \le 0$.

   Следовательно, центр шара лежит внутри пирамиды при $h > r$.

2. Центр шара лежит на ее основании.

   Это означает, что центр шара $O_{сф}$ совпадает с центром основания $O$. Для этого расстояние $d$ должно быть равно нулю: $d = 0$.

   $\frac{h^2-r^2}{2h} = 0 \implies h^2-r^2 = 0 \implies h^2 = r^2 \implies h = r$.

   Следовательно, центр шара лежит на основании пирамиды при $h = r$.

3. Центр шара лежит вне пирамиды.

   Это означает, что центр шара $O_{сф}$ находится на оси $SO$, но не принадлежит отрезку $SO$. Как мы видели, $d$ не может быть больше $h$. Значит, $d$ должно быть отрицательным: $d < 0$.

   $\frac{h^2-r^2}{2h} < 0$

   Так как $h>0$, то $h^2-r^2 < 0 \implies h^2 < r^2 \implies h < r$.

   Следовательно, центр шара лежит вне пирамиды (со стороны основания) при $h < r$.

Ответ: центр шара лежит внутри пирамиды, если $h > r$; на ее основании, если $h = r$; вне пирамиды, если $h < r$.