Номер 524, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

524. Найдите радиус шара, учитывая, что:

а) в него вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а высота равна стороне основания;

б) он вписан в пирамиду, основанием которой является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$, а каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом $\beta$;

в) в него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10, а ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $\delta$;

г) он вписан в треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны и равны $a$;

д) в него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю $2a$, а каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\beta$;

е) он вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания $a$ и высотой $h$.

а) В данном случае пирамида вписана в шар, следовательно, нам необходимо найти радиус описанной около пирамиды сферы, который обозначим как $R$.
Пирамида является правильной треугольной, значит, в ее основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, а вершина пирамиды проецируется в центр этого треугольника (центр описанной и вписанной окружностей). Высота пирамиды по условию $H=a$.
Радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды, для которой вершина проецируется в центр описанной окружности основания, можно найти по формуле:$R = \frac{H^2 + r_{осн}^2}{2H}$где $H$ – высота пирамиды, а $r_{осн}$ – радиус окружности, описанной около основания.
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим известные значения $H=a$ и $r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ в формулу для $R$:$R = \frac{a^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2}{2a} = \frac{a^2 + \frac{a^2}{3}}{2a} = \frac{\frac{4a^2}{3}}{2a} = \frac{4a^2}{6a} = \frac{2a}{3}$
Ответ: $R = \frac{2a}{3}$

б) В данном случае шар вписан в пирамиду, поэтому нам нужно найти радиус вписанной сферы, который обозначим как $r$.
Основание пирамиды — ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Условие, что все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Для ромба инцентр — это точка пересечения его диагоналей.
Радиус $r$ вписанной в пирамиду сферы можно найти как радиус окружности, вписанной в сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему (высоту боковой грани).
Найдем радиус $r_{вн}$ окружности, вписанной в ромб. Высота ромба $h_{ромб} = a \sin \alpha$. Радиус вписанной окружности равен половине высоты:$r_{вн} = \frac{1}{2}h_{ромб} = \frac{1}{2}a \sin \alpha$
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту пирамиды $H$ и радиус $r_{вн}$ вписанной в основание окружности. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $r_{вн}$, а угол между гипотенузой (апофемой пирамиды) и катетом $r_{вн}$ равен $\beta$. Центр вписанной сферы будет лежать на высоте пирамиды $H$, а его расстояние до основания равно $r$. Этот центр также лежит на биссектрисе угла $\beta$. Из соответствующего прямоугольного треугольника получаем:$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{r_{вн}}$
Отсюда выразим радиус вписанной сферы $r$:$r = r_{вн} \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{1}{2}a \sin \alpha \tan(\frac{\beta}{2})$
Ответ: $r = \frac{a}{2} \sin \alpha \tan(\frac{\beta}{2})$

в) Пирамида вписана в шар, значит, ищем радиус $R$ описанной сферы.
Основание — прямоугольник с диагональю $d=10$. Условие, что все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\delta$, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей.
Радиус описанной окружности основания $r_{осн}$ равен половине диагонали:$r_{осн} = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Высоту пирамиды $H$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, его проекцией на основание (равной $r_{осн}$) и высотой пирамиды:$H = r_{осн} \tan \delta = 5 \tan \delta$
Используем формулу для радиуса описанной сферы:$R = \frac{H^2 + r_{осн}^2}{2H} = \frac{(5 \tan \delta)^2 + 5^2}{2 \cdot 5 \tan \delta} = \frac{25 \tan^2 \delta + 25}{10 \tan \delta} = \frac{25(\tan^2 \delta + 1)}{10 \tan \delta}$
Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 \delta = \sec^2 \delta = \frac{1}{\cos^2 \delta}$, получаем:$R = \frac{25 \cdot \frac{1}{\cos^2 \delta}}{10 \cdot \frac{\sin \delta}{\cos \delta}} = \frac{25}{10 \sin \delta \cos \delta} = \frac{5}{2 \sin \delta \cos \delta} = \frac{5}{\sin(2\delta)}$
Ответ: $R = \frac{5}{\sin(2\delta)}$

г) Шар вписан в треугольную пирамиду, у которой боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны $a$. Ищем радиус вписанной сферы $r$.
Такую пирамиду удобно расположить в системе координат так, чтобы ее вершина $V$ совпадала с началом координат, а боковые ребра лежали на осях координат. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: $V(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(0,a,0)$, $C(0,0,a)$. Радиус вписанной сферы можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности.
Объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{VAB} \cdot VC = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} a \cdot a) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$
Площадь полной поверхности состоит из площади основания $S_{ABC}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Боковые грани — три одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$, их общая площадь:$S_{бок} = 3 \cdot (\frac{1}{2}a^2) = \frac{3}{2}a^2$
Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, так как его стороны $AB, BC, AC$ являются гипотенузами в равных прямоугольных треугольниках, и их длина равна $a\sqrt{2}$. Площадь основания:$S_{ABC} = \frac{(a\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$
Площадь полной поверхности:$S_{полн} = S_{бок} + S_{ABC} = \frac{3}{2}a^2 + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2(3+\sqrt{3})}{2}$
Теперь находим радиус вписанной сферы:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}a^3}{\frac{a^2(3+\sqrt{3})}{2}} = \frac{\frac{a^3}{2}}{\frac{a^2(3+\sqrt{3})}{2}} = \frac{a}{3+\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:$r = \frac{a(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{a(3-\sqrt{3})}{9-3} = \frac{a(3-\sqrt{3})}{6}$
Ответ: $r = \frac{a(3-\sqrt{3})}{6}$

д) Пирамида вписана в шар, ищем радиус $R$ описанной сферы. Задача аналогична пункту в).
Основание — прямоугольник с диагональю $d=2a$. Боковые ребра наклонены под углом $\beta$. Вершина проецируется в центр описанной окружности основания (точку пересечения диагоналей).
Радиус описанной окружности основания:$r_{осн} = \frac{d}{2} = \frac{2a}{2} = a$
Высота пирамиды:$H = r_{осн} \tan \beta = a \tan \beta$
Используем формулу для радиуса описанной сферы:$R = \frac{H^2 + r_{осн}^2}{2H} = \frac{(a \tan \beta)^2 + a^2}{2a \tan \beta} = \frac{a^2(\tan^2 \beta + 1)}{2a \tan \beta} = \frac{a(1+\tan^2 \beta)}{2 \tan \beta}$
$R = \frac{a \sec^2 \beta}{2 \tan \beta} = \frac{a / \cos^2 \beta}{2 \sin \beta / \cos \beta} = \frac{a}{2 \sin \beta \cos \beta} = \frac{a}{\sin(2\beta)}$
Ответ: $R = \frac{a}{\sin(2\beta)}$

е) Шар вписан в правильную четырехугольную пирамиду, ищем радиус вписанной сферы $r$.
Основание — квадрат со стороной $a$, высота пирамиды — $h$. Как и в пункте б), рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы двух противоположных боковых граней. Это сечение — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и высотой $h$. Шар касается основания пирамиды и ее боковых граней, поэтому его сечение этой плоскостью будет окружностью, вписанной в данный равнобедренный треугольник. Радиус этой окружности и есть искомый радиус $r$.
Радиус окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.
Площадь сечения (равнобедренного треугольника):$S_{сеч} = \frac{1}{2} a h$
Боковая сторона этого треугольника — апофема пирамиды $l_a$. Найдем ее из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $a/2$:$l_a = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4h^2+a^2}$
Полупериметр сечения:$p = \frac{a + l_a + l_a}{2} = \frac{a + 2l_a}{2} = \frac{a + \sqrt{4h^2+a^2}}{2}$
Теперь находим радиус $r$:$r = \frac{S_{сеч}}{p} = \frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{a + \sqrt{4h^2+a^2}}{2}} = \frac{ah}{a + \sqrt{4h^2+a^2}}$
Ответ: $r = \frac{ah}{a + \sqrt{4h^2+a^2}}$