Номер 490, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

490. Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.

Пусть дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, вписанная в цилиндр. Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в окружности оснований цилиндра. Это означает, что основания призмы, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы ($AA_1, BB_1, CC_1$) параллельны оси цилиндра. Следовательно, призма является прямой.

Пусть ось цилиндра - это прямая $OO_1$, где $O$ и $O_1$ — центры окружностей оснований. По условию задачи, одна из боковых граней призмы проходит через ось цилиндра. Пусть это будет грань $ABB_1A_1$. Это означает, что плоскость, содержащая грань $ABB_1A_1$, содержит и ось $OO_1$.

Рассмотрим основание призмы — треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Поскольку плоскость грани $ABB_1A_1$ содержит ось $OO_1$, то она содержит и точку $O$. Точка $O$ также принадлежит плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $O$ должна лежать на линии пересечения этих двух плоскостей. Линией пересечения плоскости грани $ABB_1A_1$ и плоскости основания $ABC$ является прямая, содержащая сторону $AB$ треугольника. Таким образом, центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$.

По определению, сторона треугольника, проходящая через центр описанной около него окружности, является диаметром этой окружности. Значит, сторона $AB$ — диаметр окружности, в которую вписан треугольник $ABC$.

Согласно свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$ опирается на диаметр $AB$. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ в основании призмы является прямоугольным.

Теперь докажем, что две другие боковые грани, $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$, взаимно перпендикулярны. Угол между двумя плоскостями (в данном случае, плоскостями граней) — это двугранный угол. Он измеряется линейным углом, образованным лучами, которые лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения. Линией пересечения граней $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ является боковое ребро $CC_1$.

Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Из этого следует, что $CC_1 \perp AC$ и $CC_1 \perp BC$. Линия $AC$ лежит в плоскости грани $ACC_1A_1$, а линия $BC$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Обе эти линии перпендикулярны общему ребру $CC_1$ в точке $C$. Следовательно, угол между плоскостями граней $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BC$, то есть углу $\angle ACB$.

Как мы установили ранее, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, угол между гранями $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равен $90^\circ$, что означает, что эти грани взаимно перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.