Номер 534, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

534*. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол при основании треугольника — $\alpha$. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом $\varphi$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.

1. Анализ условия и определение основных параметров

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $AB = AC = a$ и углами при основании $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$. Тогда третий угол $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$. Основание треугольника $BC$ можно найти, проведя высоту $AM$ к $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABM$ катет $BM = AB \cos \alpha = a \cos \alpha$. Так как $AM$ является и медианой, то $BC = 2 \cdot BM = 2a \cos \alpha$.

По условию, все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника основания $ABC$. Радиус этой окружности (обозначим его $R$) равен $OA = OB = OC$.

Найдем радиус описанной окружности $R$ для треугольника $ABC$ по формуле $R = \frac{side}{2\sin(\text{opposite angle})}$. Используя сторону $AC=a$ и противолежащий ей угол $\angle ABC = \alpha$:$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Высота пирамиды $H = SO$. Из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SAO = \phi$), находим:$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \tan\phi = \frac{a \tan\phi}{2\sin\alpha}$.

2. Вычисление объема пирамиды

Радиус вписанного в пирамиду шара $r$ можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{\text{полн}}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{\text{полн}}$ — площадь ее полной поверхности.

Сначала найдем объем $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H$. Площадь основания $S_{\text{осн}}$ (площадь $\triangle ABC$):$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} a^2 (2\sin\alpha\cos\alpha) = a^2\sin\alpha\cos\alpha$.

Теперь вычислим объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H = \frac{1}{3} (a^2\sin\alpha\cos\alpha) \left(\frac{a \tan\phi}{2\sin\alpha}\right) = \frac{1}{6} a^3 \cos\alpha \tan\phi$.

3. Вычисление площади полной поверхности

Площадь полной поверхности $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$, где $S_{\text{бок}}$ — площадь боковой поверхности.$S_{\text{бок}} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAC} + S_{\triangle SBC}$.

Так как боковые ребра равны ($SA=SB=SC=L$), то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Найдем длину бокового ребра $L$ из $\triangle SOA$: $L = SA = \frac{OA}{\cos\phi} = \frac{R}{\cos\phi} = \frac{a}{2\sin\alpha\cos\phi}$.

$\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ равны, так как у них стороны $SA=SA$, $AB=AC=a$ и $SB=SC=L$. Найдем площадь $\triangle SAB$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $L, L, a$. Его площадь можно найти по формуле Герона или через высоту. Высота $h_{AB}$ к стороне $AB$ равна $\sqrt{L^2 - (a/2)^2}$.$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} a \sqrt{L^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\left(\frac{a}{2\sin\alpha\cos\phi}\right)^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2\alpha\cos^2\phi} - \frac{a^2}{4}}$$S_{\triangle SAB} = \frac{a^2}{4} \sqrt{\frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\phi} - 1} = \frac{a^2}{4} \frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi}}{\sin\alpha\cos\phi}$.

Найдем площадь $\triangle SBC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $L, L, 2a\cos\alpha$.$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} (2a\cos\alpha) \sqrt{L^2 - (a\cos\alpha)^2} = a\cos\alpha \sqrt{\left(\frac{a}{2\sin\alpha\cos\phi}\right)^2 - a^2\cos^2\alpha}$$S_{\triangle SBC} = a\cos\alpha \sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2\alpha\cos^2\phi} - a^2\cos^2\alpha} = a^2\cos\alpha \sqrt{\frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\phi} - \cos^2\alpha}$$S_{\triangle SBC} = a^2\cos\alpha \frac{\sqrt{1 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha\cos^2\phi}}{2\sin\alpha\cos\phi} = \frac{a^2\cot\alpha}{2\cos\phi} \sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi}$.

Площадь боковой поверхности:$S_{\text{бок}} = 2S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi}}{4\sin\alpha\cos\phi} + \frac{a^2\cot\alpha\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi}}{2\cos\phi}$$S_{\text{бок}} = \frac{a^2}{2\sin\alpha\cos\phi} \left( \sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi} + \cos\alpha\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi} \right)$.

Площадь полной поверхности:$S_{\text{полн}} = a^2\sin\alpha\cos\alpha + \frac{a^2}{2\sin\alpha\cos\phi} \left( \sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi} + \cos\alpha\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi} \right)$.

4. Нахождение радиуса вписанного шара

Теперь подставим найденные $V$ и $S_{\text{полн}}$ в формулу для радиуса $r$.$r = \frac{3V}{S_{\text{полн}}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6} a^3 \cos\alpha \tan\phi}{a^2\sin\alpha\cos\alpha + \frac{a^2}{2\sin\alpha\cos\phi} \left( \sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi} + \cos\alpha\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi} \right)}$.

$r = \frac{\frac{1}{2} a^3 \cos\alpha \frac{\sin\phi}{\cos\phi}}{a^2\sin\alpha\cos\alpha + \frac{a^2}{2\sin\alpha\cos\phi} \left( \dots \right)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\frac{2\sin\alpha\cos\phi}{a^2}$:$r = \frac{a \cos\alpha \sin\phi \sin\alpha}{2\sin^2\alpha\cos\alpha\cos\phi + \sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi} + \cos\alpha\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi}}$.

Используя $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $r = \frac{a \sin\alpha \cos\alpha \sin\phi}{\sin(2\alpha)\sin\alpha\cos\phi + \sqrt{1-\sin^2\alpha\cos^2\phi} + \cos\alpha\sqrt{1 - \sin^2(2\alpha)\cos^2\phi}}$.