Номер 538, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

538. Найдите площади двух подобных прямоугольников, на которые разделен прямоугольник со сторонами 4 м и 17 м.

Пусть дан исходный прямоугольник со сторонами $a = 17$ м и $b = 4$ м. Его общая площадь составляет $S = a \times b = 17 \times 4 = 68$ м².

Этот прямоугольник нужно разделить на два меньших прямоугольника, которые будут подобны друг другу. Разрез можно сделать параллельно одной из сторон.

Случай 1: Разрез параллелен стороне длиной 4 м

При таком разрезе сторона длиной 17 м делится на два отрезка длиной $x$ и $17-x$. В результате получаются два прямоугольника:

• Прямоугольник 1 (R1) с размерами $4 \times x$.
• Прямоугольник 2 (R2) с размерами $4 \times (17-x)$.

Два прямоугольника подобны, если у них одинаковое отношение длинной стороны к короткой. Запишем условие подобия:

$\frac{\max(4, x)}{\min(4, x)} = \frac{\max(4, 17-x)}{\min(4, 17-x)}$

Это равенство может выполняться в двух различных ситуациях.

1а) Прямоугольники равны (конгруэнтны)

Если прямоугольники равны, то их размеры совпадают, следовательно, $x = 17-x$.

$2x = 17 \implies x = 8.5$ м.

В этом случае оба прямоугольника имеют размеры $4 \times 8.5$ м. Они являются конгруэнтными, а значит и подобными (с коэффициентом подобия 1).

Площадь каждого из них: $S_1 = S_2 = 4 \times 8.5 = 34$ м².

Сумма площадей: $34 + 34 = 68$ м², что соответствует площади исходного прямоугольника.

1б) Прямоугольники подобны, но не равны

Это возможно, если один прямоугольник "вытянут" вдоль одной оси, а другой — вдоль другой, но с тем же соотношением сторон. Например, пусть для R1 сторона $x$ короче стороны 4 ($x < 4$), а для R2 сторона $17-x$ длиннее стороны 4 ($17-x > 4$).

Тогда отношение сторон для R1 будет $\frac{4}{x}$, а для R2 — $\frac{17-x}{4}$. Приравняем их:

$\frac{4}{x} = \frac{17-x}{4}$

Решим это уравнение:

$4 \times 4 = x \times (17-x)$

$16 = 17x - x^2$

$x^2 - 17x + 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 17, а произведение — 16. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 16$.

По нашему предположению $x < 4$, поэтому выбираем корень $x=1$.

Если $x=1$ м, то второй отрезок равен $17 - 1 = 16$ м. Размеры полученных прямоугольников: $4 \times 1$ м и $4 \times 16$ м.

Проверим их подобие:

• Отношение сторон R1: $\frac{4}{1} = 4$.
• Отношение сторон R2: $\frac{16}{4} = 4$.

Отношения равны, значит, прямоугольники подобны.

Найдем их площади:

$S_1 = 4 \times 1 = 4$ м².

$S_2 = 4 \times 16 = 64$ м².

Сумма площадей: $4 + 64 = 68$ м², что соответствует площади исходного прямоугольника.

Случай 2: Разрез параллелен стороне длиной 17 м

При таком разрезе сторона длиной 4 м делится на два отрезка длиной $y$ и $4-y$. Получаются два прямоугольника:

• Прямоугольник 1 (R1) с размерами $17 \times y$.
• Прямоугольник 2 (R2) с размерами $17 \times (4-y)$.

Так как $y < 4$ и $(4-y) < 4$, сторона длиной 17 м всегда будет большей стороной у обоих прямоугольников.

Условие подобия: $\frac{17}{y} = \frac{17}{4-y}$.

Отсюда следует, что $y = 4-y$, что дает $2y=4$, или $y=2$ м.

Это означает, что оба прямоугольника имеют одинаковые размеры $17 \times 2$ м и являются конгруэнтными. Их площади равны $S_1 = S_2 = 17 \times 2 = 34$ м². Этот результат совпадает с вариантом 1а.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Площади двух подобных прямоугольников могут быть 4 м² и 64 м² или 34 м² и 34 м².