Номер 540, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

540. Внутреннюю точку параллелограмма соединили с его вершинами. Докажите, что сумма площадей треугольников, прилежащих к одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей треугольников, прилежащих к другой паре сторон.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, а $P$ — произвольная внутренняя точка. Соединив точку $P$ с вершинами, мы получим четыре треугольника: $ \triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCD, \triangle PDA $. Требуется доказать, что сумма площадей треугольников, прилежащих к одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей треугольников, прилежащих к другой паре, то есть: $S_{PAB} + S_{PCD} = S_{PBC} + S_{PDA}$.

Рассмотрим пару треугольников $ \triangle PAB $ и $ \triangle PCD $, которые прилежат к противоположным сторонам $AB$ и $CD$. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$. Обозначим длину этих сторон как $a$. Проведем через точку $P$ высоту параллелограмма, перпендикулярную сторонам $AB$ и $CD$. Пусть ее длина равна $h_a$. Эта высота делится точкой $P$ на два отрезка, $h_1$ и $h_2$, которые являются высотами треугольников $ \triangle PAB $ и $ \triangle PCD $ к сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Таким образом, $h_1 + h_2 = h_a$.

Сумма площадей этих треугольников равна: $S_{PAB} + S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2 = \frac{1}{2} a \cdot h_1 + \frac{1}{2} a \cdot h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2)$. Подставив $h_1 + h_2 = h_a$, получаем: $S_{PAB} + S_{PCD} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$. Поскольку площадь параллелограмма $S_{ABCD} = a \cdot h_a$, то сумма площадей первой пары треугольников составляет ровно половину площади параллелограмма: $S_{PAB} + S_{PCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь рассмотрим вторую пару треугольников $ \triangle PBC $ и $ \triangle PDA $, прилежащих к сторонам $BC$ и $DA$. Аналогично, $BC = DA = b$. Проведем высоту параллелограмма $h_b$ через точку $P$ перпендикулярно сторонам $BC$ и $DA$. Сумма высот этих треугольников, проведенных из точки $P$ к сторонам $BC$ и $DA$, будет равна $h_b$. Сумма их площадей: $S_{PBC} + S_{PDA} = \frac{1}{2} BC \cdot h_3 + \frac{1}{2} DA \cdot h_4 = \frac{1}{2} b(h_3 + h_4) = \frac{1}{2} b \cdot h_b$. Площадь параллелограмма также равна $S_{ABCD} = b \cdot h_b$. Значит, $S_{PBC} + S_{PDA} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Так как обе суммы площадей равны половине площади параллелограмма, то они равны между собой: $S_{PAB} + S_{PCD} = S_{PBC} + S_{PDA}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей треугольников, прилежащих к каждой паре противоположных сторон, равна половине площади параллелограмма, следовательно, эти суммы равны между собой.