Номер 543, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

543. Каждая из сторон $AB$ и $DC$ параллелограмма $ABCD$ разделена на $m$ равных отрезков-долей, а каждая из двух других сторон — на $n$ равных отрезков-долей. Начало первого, второго и т. д. отрезков на стороне $AB$, если считать от вершины $A$, соединили с концом первого, второго и т. д. отрезка на стороне $CD$, если считать от вершины $D$. Так же конец первого, второго и т. д. отрезков на стороне $AD$, если считать от вершины $A$, соединили с началом первого, второго и т. д. отрезков на стороне $BC$, если считать от вершины $B$. В результате параллелограмм разделили на треугольники, трапеции и параллелограммы (рис. 392). Выясните, какую часть площади параллелограмма $ABCD$ составляет площадь одного такого параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся методом аффинных преобразований. Аффинное преобразование (например, сдвиг, растяжение) сохраняет отношение площадей фигур. Мы можем преобразовать исходный параллелограмм $ABCD$ в единичный квадрат $A'B'C'D'$ с вершинами в точках $A'(0,0)$, $B'(1,0)$, $D'(0,1)$ и $C'(1,1)$. Площадь квадрата равна 1. Отношение площади малого параллелограмма к площади квадрата будет таким же, как и искомое отношение площади малого параллелограмма к площади исходного параллелограмма $ABCD$.

Рассмотрим первую группу линий, которые строятся на основе сторон, соответствующих $AB$ и $DC$. В системе координат квадрата сторона $A'B'$ лежит на оси $Ox$, а сторона $D'C'$ — на прямой $y=1$. Сторона $A'B'$ делится на $m$ равных отрезков. Начало $k$-го отрезка (при счете от $A'$) — это точка с координатами $(\frac{k-1}{m}, 0)$. Сторона $D'C'$ также делится на $m$ равных отрезков. Конец $k$-го отрезка (при счете от $D'$) — это точка с координатами $(\frac{k}{m}, 1)$. Согласно условию, соединяются начало $k$-го отрезка на $A'B'$ с концом $k$-го отрезка на $D'C'$. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(\frac{k-1}{m}, 0)$ и $(\frac{k}{m}, 1)$. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой $m_1$ равен: $m_1 = \frac{1-0}{\frac{k}{m} - \frac{k-1}{m}} = \frac{1}{1/m} = m$. Так как угловой коэффициент не зависит от $k$, все эти прямые параллельны. Уравнение прямой для $k$-го отрезка имеет вид: $y - 0 = m(x - \frac{k-1}{m})$, что дает $y = mx - (k-1)$. Это первое семейство параллельных прямых для $k = 1, 2, ..., m$.

Теперь рассмотрим вторую группу линий, которые строятся на основе сторон, соответствующих $AD$ и $BC$. В системе координат квадрата сторона $A'D'$ лежит на оси $Oy$, а сторона $B'C'$ — на прямой $x=1$. Сторона $A'D'$ делится на $n$ равных отрезков. Конец $j$-го отрезка (при счете от $A'$) — это точка с координатами $(0, \frac{j}{n})$. Сторона $B'C'$ делится на $n$ равных отрезков. Начало $j$-го отрезка (при счете от $B'$) — это точка с координатами $(1, \frac{j-1}{n})$. Соединяем конец $j$-го отрезка на $A'D'$ с началом $j$-го отрезка на $B'C'$. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(0, \frac{j}{n})$ и $(1, \frac{j-1}{n})$. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой $m_2$ равен: $m_2 = \frac{\frac{j-1}{n} - \frac{j}{n}}{1 - 0} = -\frac{1}{n}$. Так как угловой коэффициент не зависит от $j$, эти прямые также параллельны между собой. Уравнение прямой для $j$-го отрезка имеет вид: $y - \frac{j}{n} = -\frac{1}{n}(x - 0)$, что дает $y = -\frac{1}{n}x + \frac{j}{n}$. Это второе семейство параллельных прямых для $j = 1, 2, ..., n$.

Эти два семейства параллельных прямых образуют сетку, состоящую из одинаковых малых параллелограммов. Найдем площадь одного такого параллелограмма, образованного пересечением прямых, соответствующих индексам $k$ и $k+1$ из первого семейства, и прямых, соответствующих индексам $j$ и $j+1$ из второго. Воспользуемся общей формулой для площади параллелограмма, образованного прямыми $y = m_1x + c_1$, $y = m_1x + c_2$ и $y = m_2x + d_1$, $y = m_2x + d_2$: $S_{малый} = \left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{m_1 - m_2} \right|$. В нашем случае: $m_1 = m$, а $m_2 = -1/n$. Для первого семейства прямых, соответствующих $k$ и $k+1$, имеем $c_1 = -(k-1)$ и $c_2 = -k$. Тогда разность $c_1 - c_2 = -k+1 - (-k) = 1$. Для второго семейства прямых, соответствующих $j$ и $j+1$, имеем $d_1 = j/n$ и $d_2 = (j+1)/n$. Тогда разность $d_1 - d_2 = \frac{j}{n} - \frac{j+1}{n} = -\frac{1}{n}$. Подставляем эти значения в формулу площади: $S_{малый} = \left| \frac{(1)(-\frac{1}{n})}{m - (-\frac{1}{n})} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{n}}{m + \frac{1}{n}} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{n}}{\frac{mn+1}{n}} \right| = \left| \frac{-1}{mn+1} \right| = \frac{1}{mn+1}$.

Площадь малого параллелограмма в системе координат единичного квадрата равна $\frac{1}{mn+1}$. Поскольку площадь всего квадрата равна 1, то отношение площадей равно $\frac{1/(mn+1)}{1} = \frac{1}{mn+1}$. Так как аффинное преобразование сохраняет отношение площадей, то и в исходном параллелограмме $ABCD$ площадь одного малого параллелограмма составляет $\frac{1}{mn+1}$ от площади всего параллелограмма $ABCD$.

Ответ: $\frac{1}{mn+1}$