Номер 545, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

545. Найдите площадь треугольника, у которого:

а) две стороны вместе составляют 15 см, а проведенные к ним высоты равны 4 см и 6 см;

б) две стороны равны 5 см и 7 см, а угол против одной из них — $45^{\circ}$;

в) две стороны равны 27 см и 29 см, а медиана к третьей стороне — 26 см;

г) две вершины являются основаниями высот, проведенных к двум большим сторонам треугольника со сторонами 65 см, 70 см, 75 см. а третья вершина является вершиной данного треугольника, из которой выходит его третья высота (рис. 394);

д) одна сторона равна 10 см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, — 9 см и 12 см;

е) медианы равны 9 см, 12 см, 15 см.

Рис. 393

Рис. 394

а) Пусть стороны треугольника равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к ним, — $h_a = 4$ см и $h_b = 6$ см соответственно. По условию, $a + b = 15$ см. Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} a h_a$ и $S = \frac{1}{2} b h_b$. Приравняв эти выражения, получаем: $\frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b \implies a h_a = b h_b$. Подставим значения высот: $a \cdot 4 = b \cdot 6 \implies 4a = 6b \implies 2a = 3b \implies a = \frac{3}{2}b$. Теперь у нас есть система из двух уравнений: $ \begin{cases} a + b = 15 \\ a = \frac{3}{2}b \end{cases} $ Подставим второе уравнение в первое: $\frac{3}{2}b + b = 15$ $\frac{5}{2}b = 15$ $b = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6$ см. Тогда $a = 15 - b = 15 - 6 = 9$ см. Теперь найдем площадь треугольника, используя любую из формул: $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18$ см$^2$.
Ответ: 18 см$^2$.

б) Пусть стороны треугольника равны $a = 5$ см и $b = 7$ см. Угол, противолежащий одной из этих сторон, равен $45^\circ$. Возможны два случая.

Случай 1: Угол $45^\circ$ лежит против стороны $a=5$ см. Пусть $\alpha = 45^\circ$. Обозначим третью сторону как $c$. По теореме косинусов для стороны $a$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ $5^2 = 7^2 + c^2 - 2 \cdot 7 \cdot c \cdot \cos 45^\circ$ $25 = 49 + c^2 - 14c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $c^2 - 7\sqrt{2}c + 24 = 0$. Решим квадратное уравнение относительно $c$: $c = \frac{7\sqrt{2} \pm \sqrt{(7\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2} = \frac{7\sqrt{2} \pm \sqrt{98 - 96}}{2} = \frac{7\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}$. Получаем два возможных значения для стороны $c$: $c_1 = \frac{7\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. $c_2 = \frac{7\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. Для каждого значения $c$ находим площадь $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 28\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{28 \cdot 2}{4} = 14$ см$^2$. $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 21\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{21 \cdot 2}{4} = 10.5$ см$^2$.

Случай 2: Угол $45^\circ$ лежит против стороны $b=7$ см. Пусть $\beta = 45^\circ$. Обозначим угол между сторонами $a$ и $b$ как $\gamma$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Найдем угол $\alpha$ по теореме синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{5 \sin 45^\circ}{7} = \frac{5\sqrt{2}}{14}$. Поскольку $a < b$, угол $\alpha$ должен быть острым. $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5\sqrt{2}}{14})^2} = \sqrt{1 - \frac{50}{196}} = \sqrt{\frac{146}{196}} = \frac{\sqrt{146}}{14}$. Третий угол $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Тогда $\sin \gamma = \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. $\sin \gamma = \frac{5\sqrt{2}}{14} \cdot \cos 45^\circ + \frac{\sqrt{146}}{14} \cdot \sin 45^\circ = \frac{5\sqrt{2}}{14} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{146}}{14} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10}{28} + \frac{\sqrt{292}}{28} = \frac{10 + 2\sqrt{73}}{28} = \frac{5 + \sqrt{73}}{14}$. Площадь $S_3 = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{5 + \sqrt{73}}{14} = \frac{35}{2} \cdot \frac{5 + \sqrt{73}}{14} = \frac{5(5 + \sqrt{73})}{4} = \frac{25 + 5\sqrt{73}}{4}$ см$^2$.
Ответ: 14 см$^2$, или 10.5 см$^2$, или $\frac{25 + 5\sqrt{73}}{4}$ см$^2$.

в) Пусть стороны треугольника $a = 27$ см и $b = 29$ см, а медиана к третьей стороне $c$ равна $m_c = 26$ см. Воспользуемся формулой для медианы (следствие теоремы Аполлония): $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$, или в виде $4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$. Отсюда можно выразить сторону $c$: $c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4m_c^2$. Подставим известные значения: $c^2 = 2 \cdot 27^2 + 2 \cdot 29^2 - 4 \cdot 26^2 = 2 \cdot 729 + 2 \cdot 841 - 4 \cdot 676 = 1458 + 1682 - 2704 = 3140 - 2704 = 436$. Теперь у нас есть длины всех трех сторон: $a=27$, $b=29$, $c=\sqrt{436}=2\sqrt{109}$. Найдем площадь треугольника по формуле Герона $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр. $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{27+29+2\sqrt{109}}{2} = \frac{56+2\sqrt{109}}{2} = 28+\sqrt{109}$. Вычислим разности: $s-a = 28+\sqrt{109} - 27 = 1+\sqrt{109}$. $s-b = 28+\sqrt{109} - 29 = \sqrt{109}-1$. $s-c = 28+\sqrt{109} - 2\sqrt{109} = 28-\sqrt{109}$. Подставим в формулу Герона: $S = \sqrt{(28+\sqrt{109})(1+\sqrt{109})(\sqrt{109}-1)(28-\sqrt{109})}$. Сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов: $S = \sqrt{((28+\sqrt{109})(28-\sqrt{109})) \cdot ((\sqrt{109}+1)(\sqrt{109}-1))}$ $S = \sqrt{(28^2 - (\sqrt{109})^2) \cdot ((\sqrt{109})^2 - 1^2)} = \sqrt{(784 - 109) \cdot (109 - 1)} = \sqrt{675 \cdot 108}$. Разложим числа на множители: $675 = 25 \cdot 27 = 5^2 \cdot 3^3$, $108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$. $S = \sqrt{(5^2 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 3^3)} = \sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 3^6} = 2 \cdot 5 \cdot 3^3 = 10 \cdot 27 = 270$ см$^2$.
Ответ: 270 см$^2$.

г) Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a=BC=70$ см, $b=AC=75$ см, $c=AB=65$ см. Две большие стороны — $b=75$ и $a=70$. Пусть $H_a$ — основание высоты, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, а $H_b$ — основание высоты из вершины $B$ к стороне $AC$. Третья вершина искомого треугольника — это вершина исходного треугольника, из которой выходит третья высота (к стороне $c=AB$). Эта вершина — $C$. Таким образом, мы ищем площадь треугольника $\triangle CH_aH_b$. Площадь $\triangle CH_aH_b$ равна $\frac{1}{2} CH_a \cdot CH_b \sin(\angle H_aCH_b) = \frac{1}{2} CH_a \cdot CH_b \sin C$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AH_aC$ ($\angle AH_aC = 90^\circ$). В нем $CH_a = AC \cos C = b \cos C$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BH_bC$ ($\angle BH_bC = 90^\circ$). В нем $CH_b = BC \cos C = a \cos C$. Тогда площадь искомого треугольника $S_{CH_aH_b} = \frac{1}{2} (b \cos C)(a \cos C) \sin C = (\frac{1}{2}ab \sin C) \cos^2 C$. Выражение в скобках — это площадь исходного треугольника $S_{ABC}$. Таким образом, $S_{CH_aH_b} = S_{ABC} \cos^2 C$. Сначала найдем $S_{ABC}$ по формуле Герона. Полупериметр $s = \frac{70+75+65}{2} = \frac{210}{2}=105$. $S_{ABC} = \sqrt{105(105-70)(105-75)(105-65)} = \sqrt{105 \cdot 35 \cdot 30 \cdot 40} = \sqrt{(3\cdot5\cdot7)\cdot(5\cdot7)\cdot(2\cdot3\cdot5)\cdot(2^3\cdot5)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 2100$ см$^2$. Теперь найдем $\cos C$ по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. $\cos C = \frac{70^2+75^2-65^2}{2 \cdot 70 \cdot 75} = \frac{4900+5625-4225}{10500} = \frac{6300}{10500} = \frac{63}{105} = \frac{3}{5}$. Теперь можем найти площадь $S_{CH_aH_b}$: $S_{CH_aH_b} = S_{ABC} \cos^2 C = 2100 \cdot (\frac{3}{5})^2 = 2100 \cdot \frac{9}{25} = 84 \cdot 9 = 756$ см$^2$.
Ответ: 756 см$^2$.

д) Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $c=AB=10$ см, медиана к стороне $BC$ $m_a = 9$ см, а медиана к стороне $AC$ $m_b = 12$ см. Медианы пересекаются в точке $M$ (центроиде) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем длины отрезков медиан от вершин до центроида: $AM = \frac{2}{3} m_a = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см. $BM = \frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см. Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Его стороны: $AM=6$ см, $BM=8$ см, $AB=10$ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Поскольку $6^2 + 8^2 = 10^2$, треугольник $\triangle AMB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. Площадь этого треугольника: $S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$. Площадь треугольника, образованного двумя вершинами и центроидом, составляет $1/3$ от площади всего треугольника. То есть, $S_{AMB} = \frac{1}{3} S_{ABC}$. Отсюда находим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = 3 \cdot S_{AMB} = 3 \cdot 24 = 72$ см$^2$.
Ответ: 72 см$^2$.

е) Даны длины трех медиан треугольника: $m_a = 9$ см, $m_b = 12$ см, $m_c = 15$ см. Площадь треугольника $S$ можно вычислить по длинам его медиан с помощью формулы: $S = \frac{4}{3} \sqrt{s_m(s_m-m_a)(s_m-m_b)(s_m-m_c)}$, где $s_m$ — полупериметр треугольника, построенного на медианах. $s_m = \frac{m_a+m_b+m_c}{2} = \frac{9+12+15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см. Подставим значения в формулу: $S = \frac{4}{3} \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \frac{4}{3} \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3}$. $S = \frac{4}{3} \sqrt{(2 \cdot 9) \cdot 9 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 3} = \frac{4}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 9^2} = \frac{4}{3} \cdot (2 \cdot 3 \cdot 9) = \frac{4}{3} \cdot 54 = 4 \cdot 18 = 72$ см$^2$.
Альтернативное решение: Площадь треугольника ($S$) связана с площадью треугольника, стороны которого равны медианам ($S_m$), соотношением $S = \frac{4}{3} S_m$. Стороны "медианного" треугольника равны 9, 12, 15. Заметим, что $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Следовательно, этот треугольник является прямоугольным. Его площадь: $S_m = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см$^2$. Тогда площадь исходного треугольника: $S = \frac{4}{3} S_m = \frac{4}{3} \cdot 54 = 72$ см$^2$.
Ответ: 72 см$^2$.