Номер 554, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

554. Каждая сторона треугольника с площадью $Q$ разделена в отношении $m : n : m$. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления.

Пусть дан треугольник $ABC$ с площадью $S_{ABC} = Q$. Пусть длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$ и $C$, равны $c$, $a$ и $b$ соответственно. Площадь треугольника можно выразить через длины двух сторон и синус угла между ними:$Q = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B$.

Каждая сторона треугольника разделена на три отрезка в отношении $m:n:m$. Общая длина стороны в этих частях составляет $m+n+m = 2m+n$. Обозначим точки деления на сторонах:

• На стороне $AB$ (длиной $c$) — точки $P_1$ и $P_2$, так что $AP_1:P_1P_2:P_2B = m:n:m$. Длины крайних отрезков: $AP_1 = \frac{m}{2m+n}c$ и $P_2B = \frac{m}{2m+n}c$.
• На стороне $BC$ (длиной $a$) — точки $P_3$ и $P_4$, так что $BP_3:P_3P_4:P_4C = m:n:m$. Длины крайних отрезков: $BP_3 = \frac{m}{2m+n}a$ и $P_4C = \frac{m}{2m+n}a$.
• На стороне $CA$ (длиной $b$) — точки $P_5$ и $P_6$, так что $CP_5:P_5P_6:P_6A = m:n:m$. Длины крайних отрезков: $CP_5 = \frac{m}{2m+n}b$ и $P_6A = \frac{m}{2m+n}b$.

Вершинами искомого шестиугольника являются эти шесть точек деления $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$. Чтобы найти площадь этого шестиугольника ($S_{шест}$), мы можем вычесть из площади исходного треугольника $Q$ площади трех маленьких треугольников, образовавшихся в углах: $\triangle AP_6P_1$, $\triangle BP_2P_3$ и $\triangle CP_4P_5$.$S_{шест} = Q - (S_{\triangle AP_6P_1} + S_{\triangle BP_2P_3} + S_{\triangle CP_4P_5})$.

Найдем площадь углового треугольника при вершине $A$, то есть $\triangle AP_6P_1$. Его площадь равна:$S_{\triangle AP_6P_1} = \frac{1}{2} \cdot AP_1 \cdot AP_6 \cdot \sin A$. Из условий деления сторон мы знаем, что $AP_1 = \frac{m}{2m+n}c$ и $AP_6 = \frac{m}{2m+n}b$. Подставим эти выражения в формулу площади:$S_{\triangle AP_6P_1} = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{2m+n}c\right) \left(\frac{m}{2m+n}b\right) \sin A = \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 \left(\frac{1}{2}bc \sin A\right)$. Поскольку $\frac{1}{2}bc \sin A = Q$, то:$S_{\triangle AP_6P_1} = \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 Q$.

Аналогично, площади двух других угловых треугольников равны:$S_{\triangle BP_2P_3} = \frac{1}{2} \cdot BP_2 \cdot BP_3 \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{2m+n}c\right) \left(\frac{m}{2m+n}a\right) \sin B = \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 \left(\frac{1}{2}ac \sin B\right) = \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 Q$.$S_{\triangle CP_4P_5} = \frac{1}{2} \cdot CP_4 \cdot CP_5 \cdot \sin C = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{2m+n}a\right) \left(\frac{m}{2m+n}b\right) \sin C = \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 \left(\frac{1}{2}ab \sin C\right) = \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 Q$. Все три угловых треугольника имеют одинаковую площадь.

Суммарная площадь трех угловых треугольников составляет:$S_{углов} = 3 \cdot \left(\frac{m}{2m+n}\right)^2 Q = \frac{3m^2}{(2m+n)^2} Q$.

Теперь найдем площадь шестиугольника:$S_{шест} = Q - S_{углов} = Q - \frac{3m^2}{(2m+n)^2} Q = Q \left(1 - \frac{3m^2}{(2m+n)^2}\right)$. Упростим выражение в скобках:$1 - \frac{3m^2}{(2m+n)^2} = \frac{(2m+n)^2 - 3m^2}{(2m+n)^2} = \frac{(4m^2 + 4mn + n^2) - 3m^2}{(2m+n)^2} = \frac{m^2 + 4mn + n^2}{(2m+n)^2}$. Таким образом, площадь шестиугольника равна:$S_{шест} = Q \frac{m^2 + 4mn + n^2}{(2m+n)^2}$.

Ответ: $Q \frac{m^2 + 4mn + n^2}{(2m+n)^2}$