Номер 560, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

560. Прямая, параллельная стороне треугольника с площадью $S$, отсекает от него треугольник с площадью $Q$. Найдите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая принадлежит стороне большего треугольника.

Пусть исходный треугольник, имеющий площадь $S$, обозначен как $\triangle ABC$. Прямая, параллельная стороне $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Эта прямая отсекает от исходного треугольника меньший треугольник $\triangle ADE$, площадь которого по условию равна $Q$.

Поскольку прямая $DE$ параллельна стороне $BC$, треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия $k$. Следовательно, мы можем записать:$$ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{Q}{S} = k^2 $$Из этого соотношения находим коэффициент подобия:$$ k = \sqrt{\frac{Q}{S}} $$

Мы ищем площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника ($A, D, E$), а четвертая вершина, обозначим ее $F$, принадлежит стороне большего треугольника, параллельной отсекающей прямой, то есть стороне $BC$. Таким образом, искомый четырехугольник — это $ADEF$.

Площадь четырехугольника $ADEF$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые он разбивается диагональю $DE$: $\triangle ADE$ и $\triangle DEF$.$$ S_{ADEF} = S_{ADE} + S_{DEF} $$Площадь $\triangle ADE$ нам известна и равна $Q$. Остается найти площадь $\triangle DEF$.

Для нахождения площади $\triangle DEF$ примем $DE$ за основание. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр, опущенный из вершины $F$ на прямую, содержащую отрезок $DE$. Поскольку точка $F$ лежит на прямой $BC$, а прямая $BC$ параллельна прямой $DE$, эта высота будет равна расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $DE$. Важно отметить, что эта высота не зависит от конкретного положения точки $F$ на отрезке $BC$.

Обозначим высоту $\triangle ABC$, проведенную из вершины $A$ к основанию $BC$, как $h_{ABC}$, а высоту $\triangle ADE$ из вершины $A$ к основанию $DE$ — как $h_{ADE}$. Из подобия треугольников следует, что отношение их высот и оснований равно коэффициенту подобия $k$:$$ \frac{h_{ADE}}{h_{ABC}} = k \quad \text{и} \quad \frac{DE}{BC} = k $$Расстояние между параллельными прямыми $DE$ и $BC$ равно разности высот $h_{ABC}$ и $h_{ADE}$:$$ h_{DEF} = h_{ABC} - h_{ADE} = h_{ABC} - k \cdot h_{ABC} = h_{ABC}(1-k) $$

Теперь мы можем вычислить площадь $\triangle DEF$:$$ S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h_{DEF} $$Подставим выражения для $DE$ и $h_{DEF}$:$$ S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot (k \cdot BC) \cdot (h_{ABC}(1-k)) = k(1-k) \left( \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{ABC} \right) $$Так как выражение в скобках является площадью $\triangle ABC$, то есть $S$, получаем:$$ S_{DEF} = k(1-k)S $$Подставим значение $k = \sqrt{Q/S}$:$$ S_{DEF} = \sqrt{\frac{Q}{S}}\left(1-\sqrt{\frac{Q}{S}}\right)S = \left(\frac{\sqrt{Q}}{\sqrt{S}} - \frac{Q}{S}\right)S = \sqrt{Q}\sqrt{S} - Q = \sqrt{QS} - Q $$

Наконец, найдем общую площадь четырехугольника $ADEF$:$$ S_{ADEF} = S_{ADE} + S_{DEF} = Q + (\sqrt{QS} - Q) = \sqrt{QS} $$

Ответ: $\sqrt{QS}$.