Номер 562, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

562. Используя площади, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника.

Для доказательства теоремы о точке пересечения медиан треугольника воспользуемся методом площадей. Пусть дан треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Рассмотрим пересечение двух медиан, например $AA_1$ и $BB_1$, в точке $M$.

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих). Медиана $AA_1$ делит $\triangle ABC$ на $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$. Так как у них равные основания ($BA_1 = A_1C$) и общая высота, проведенная из вершины $A$, то их площади равны: $S(\triangle ABA_1) = S(\triangle ACA_1)$. Аналогично, для треугольника $\triangle BMC$ отрезок $MA_1$ является медианой, поэтому $S(\triangle BMA_1) = S(\triangle CMA_1)$. Вычтем второе равенство из первого:$S(\triangle ABA_1) - S(\triangle BMA_1) = S(\triangle ACA_1) - S(\triangle CMA_1)$$S(\triangle AMB) = S(\triangle CMA)$.

Проводя абсолютно аналогичные рассуждения для медианы $BB_1$, мы доказываем, что $S(\triangle AMB) = S(\triangle BMC)$. Таким образом, точка пересечения двух медиан $M$ делит исходный треугольник на три равновеликих треугольника:$S(\triangle AMB) = S(\triangle BMC) = S(\triangle CMA)$.

Теперь докажем, что точка $M$ делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим треугольники $\triangle CMA$ и $\triangle CMA_1$. У них общая высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $AA_1$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:$\frac{S(\triangle CMA)}{S(\triangle CMA_1)} = \frac{AM}{MA_1}$.

Из предыдущих шагов мы знаем, что $S(\triangle BMC) = S(\triangle CMA)$. Также мы установили, что $S(\triangle BMA_1) = S(\triangle CMA_1)$, из чего следует, что $S(\triangle BMC) = S(\triangle BMA_1) + S(\triangle CMA_1) = 2 \cdot S(\triangle CMA_1)$. Значит, $S(\triangle CMA) = 2 \cdot S(\triangle CMA_1)$. Подставим это в отношение площадей:$\frac{2 \cdot S(\triangle CMA_1)}{S(\triangle CMA_1)} = \frac{AM}{MA_1}$, откуда получаем $\frac{AM}{MA_1} = 2$, или $AM : MA_1 = 2:1$. Аналогично доказывается, что $BM : MB_1 = 2:1$.

Осталось доказать, что все три медианы пересекаются в одной точке. Пусть медиана $CC_1$ пересекает медиану $AA_1$ в некоторой точке $M'$. Проводя те же рассуждения для медиан $AA_1$ и $CC_1$, мы придем к выводу, что точка $M'$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AM' : M'A_1 = 2:1$. Но на отрезке $AA_1$ есть только одна точка, которая делит его в таком отношении. Следовательно, точки $M$ и $M'$ совпадают. Это означает, что все три медианы пересекаются в одной точке $M$. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.