Номер 565, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

565. Прямая, проведенная через вершину тупого угла трапеции параллельно боковой стороне, разделяет основание в отношении $1 : 2$.

Найдите:

a) основания трапеции, учитывая, что площадь отделенного треугольника равна 6 см, а высота трапеции — 3 см;

б) большее основание трапеции, учитывая, что ее средняя линия равна 15 см.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AD > BC. Пусть угол B — тупой. Проведем через вершину B прямую BK, параллельную боковой стороне CD (точка K лежит на основании AD).

Рассмотрим четырехугольник BCDK. В нем стороны BC и KD параллельны, так как они лежат на параллельных основаниях трапеции. Стороны BK и CD параллельны по построению. Следовательно, BCDK — это параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $BC = KD$.

По условию, прямая BK делит большее основание AD в отношении 1:2. Это означает, что отрезки AK и KD соотносятся как $AK : KD = 1 : 2$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $AK = x$, а $KD = 2x$. Так как $BC = KD$, то меньшее основание $BC = 2x$. Большее основание $AD = AK + KD = x + 2x = 3x$. Таким образом, основания трапеции соотносятся как $BC : AD = 2x : 3x = 2 : 3$.

а)

Прямая BK отделила от трапеции треугольник ABK. Высота этого треугольника, опущенная из вершины B на сторону AK, совпадает с высотой трапеции $h$. По условию $h = 3$ см, а площадь треугольника ABK равна $S_{\triangle ABK} = 6$ см².

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для треугольника ABK имеем: $S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h$. Подставим известные значения: $6 = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot 3$

Решим уравнение относительно AK: $12 = 3 \cdot AK$ $AK = \frac{12}{3} = 4$ см.

Так как $AK = x$, то $x = 4$ см. Теперь можем найти длины оснований трапеции: Меньшее основание $BC = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см. Большее основание $AD = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 12 см.

б)

Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ — основания трапеции. Мы установили, что $b = 2x$ (меньшее основание) и $a = 3x$ (большее основание). По условию, средняя линия $m=15$ см.

Подставим выражения для оснований в формулу средней линии: $15 = \frac{3x + 2x}{2}$

Решим полученное уравнение: $15 = \frac{5x}{2}$ $30 = 5x$ $x = \frac{30}{5} = 6$ см.

Нам нужно найти большее основание трапеции, которое равно $a = 3x$. $a = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Ответ: большее основание трапеции равно 18 см.