Номер 570, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

570. Определите, в каком отношении диагонали делят на четыре части площадь трапеции, основания которой относятся как $m : n$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, которые относятся как $n:m$, то есть $AD:BC = n:m$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали делят трапецию на четыре треугольника: $\triangle BOC$ (примыкает к меньшему основанию $BC$), $\triangle AOD$ (примыкает к большему основанию $AD$), $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ (примыкают к боковым сторонам). Найдем отношение их площадей $S_{BOC} : S_{AOB} : S_{COD} : S_{AOD}$.

1. Отношение площадей треугольников, примыкающих к основаниям.
Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ подобны по двум углам:

• $\angle BOC = \angle AOD$ как вертикальные.
• $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению их оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{m}{n}$.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$$ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2} $$

2. Площади треугольников, примыкающих к боковым сторонам.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$ и равные высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к этому основанию (высота трапеции). Следовательно, их площади равны:$$ S_{ABD} = S_{ACD} $$Площадь $\triangle ABD$ состоит из площадей $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$, а площадь $\triangle ACD$ состоит из площадей $\triangle COD$ и $\triangle AOD$.$$ S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COD} + S_{AOD} $$Отсюда следует, что площади треугольников, примыкающих к боковым сторонам, равны:$$ S_{AOB} = S_{COD} $$

3. Связь между площадями всех четырех треугольников.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. У них общая вершина $B$, а их основания $AO$ и $OC$ лежат на одной прямой. Отношение их площадей равно отношению их оснований:$$ \frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC} $$Аналогично для треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$:$$ \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC} $$Приравнивая эти два выражения, получаем:$$ \frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} $$Так как мы уже знаем, что $S_{AOB} = S_{COD}$, подставим это в равенство:$$ \frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} $$Отсюда получаем важное соотношение:$$ (S_{AOB})^2 = S_{BOC} \cdot S_{AOD} $$Это означает, что площадь треугольника у боковой стороны является средним геометрическим площадей треугольников у оснований.

4. Вычисление итогового отношения.
Обозначим площадь треугольника $\triangle BOC$ как $S_{BOC} = S_m$. Тогда, используя соотношение из пункта 1, площадь треугольника $\triangle AOD$ будет:$$ S_{AOD} = S_{BOC} \cdot \frac{n^2}{m^2} = S_m \cdot \frac{n^2}{m^2} $$Теперь найдем площадь бокового треугольника $S_{AOB}$ из соотношения в пункте 3:$$ (S_{AOB})^2 = S_m \cdot \left(S_m \cdot \frac{n^2}{m^2}\right) = S_m^2 \frac{n^2}{m^2} $$$$ S_{AOB} = \sqrt{S_m^2 \frac{n^2}{m^2}} = S_m \frac{n}{m} $$Итак, мы выразили все четыре площади через $S_m$:

• $S_{BOC} = S_m$
• $S_{AOD} = S_m \frac{n^2}{m^2}$
• $S_{AOB} = S_m \frac{n}{m}$
• $S_{COD} = S_m \frac{n}{m}$

Теперь запишем их отношение:$$ S_{BOC} : S_{AOB} : S_{COD} : S_{AOD} = S_m : S_m \frac{n}{m} : S_m \frac{n}{m} : S_m \frac{n^2}{m^2} $$Сократим на $S_m$:$$ 1 : \frac{n}{m} : \frac{n}{m} : \frac{n^2}{m^2} $$Чтобы избавиться от дробей, умножим все части отношения на $m^2$:$$ m^2 : mn : mn : n^2 $$Это и есть искомое отношение площадей четырех частей трапеции.

Ответ: Площади четырех треугольников, на которые диагонали делят трапецию, относятся как $m^2 : mn : mn : n^2$, где $m^2$ и $n^2$ соответствуют площадям треугольников, примыкающих к основаниям, а $mn$ — площадям треугольников, примыкающих к боковым сторонам.