Номер 577, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

577. Стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ четырехугольника равны 17 см, 25 см, 26 см, 30 см, а диагональ $AC$ — 28 см. Найдите площадь четырехугольника и его диагональ $BD$.

Для решения задачи мы можем разбить четырехугольник $ABCD$ диагональю $AC$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь четырехугольника будет суммой площадей этих двух треугольников.

Площадь четырехугольника

Площадь каждого треугольника можно найти по формуле Герона, так как известны длины всех трех сторон.

1. Найдем площадь треугольника $\triangle ABC$ со сторонами $AB = 17$ см, $BC = 25$ см и $AC = 28$ см. Сначала вычислим полупериметр $p_1$:$p_1 = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см. Теперь по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:$S_{\triangle ABC} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7}$$S_{\triangle ABC} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

2. Найдем площадь треугольника $\triangle ADC$ со сторонами $AD = 30$ см, $CD = 26$ см и $AC = 28$ см. Вычислим полупериметр $p_2$:$p_2 = \frac{AD + CD + AC}{2} = \frac{30 + 26 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см. По формуле Герона:$S_{\triangle ADC} = \sqrt{42(42-30)(42-26)(42-28)} = \sqrt{42 \cdot 12 \cdot 16 \cdot 14}$$S_{\triangle ADC} = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^2 \cdot 6^2 \cdot 7^2 \cdot 4^2} = 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 4 = 336$ см$^2$.

3. Общая площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей двух треугольников:$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = 210 + 336 = 546$ см$^2$.

Ответ: Площадь четырехугольника равна 546 см$^2$.

Диагональ BD

Для нахождения длины диагонали $BD$ применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ABD$. Формула имеет вид:$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$. Угол $\angle DAB$ четырехугольника (при условии его выпуклости) равен сумме углов $\angle CAB$ и $\angle DAC$. Найдем косинусы этих углов из треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ по теореме косинусов.

1. В $\triangle ABC$ найдем $\cos(\angle CAB)$:$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle CAB)$$25^2 = 17^2 + 28^2 - 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \cos(\angle CAB)$$625 = 289 + 784 - 952 \cos(\angle CAB)$$952 \cos(\angle CAB) = 1073 - 625 = 448$$\cos(\angle CAB) = \frac{448}{952} = \frac{8}{17}$. Для дальнейших вычислений найдем и синус этого угла:$\sin(\angle CAB) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle CAB)} = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{\frac{289-64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

2. В $\triangle ADC$ найдем $\cos(\angle DAC)$:$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos(\angle DAC)$$26^2 = 30^2 + 28^2 - 2 \cdot 30 \cdot 28 \cdot \cos(\angle DAC)$$676 = 900 + 784 - 1680 \cos(\angle DAC)$$1680 \cos(\angle DAC) = 1684 - 676 = 1008$$\cos(\angle DAC) = \frac{1008}{1680} = \frac{3 \cdot 336}{5 \cdot 336} = \frac{3}{5}$. Найдем синус этого угла:$\sin(\angle DAC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle DAC)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

3. Теперь найдем косинус угла $\angle DAB = \angle CAB + \angle DAC$ по формуле косинуса суммы:$\cos(\angle DAB) = \cos(\angle CAB)\cos(\angle DAC) - \sin(\angle CAB)\sin(\angle DAC)$$\cos(\angle DAB) = \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} - \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{85} - \frac{60}{85} = -\frac{36}{85}$.

4. Подставим полученное значение в формулу для $BD^2$:$BD^2 = 17^2 + 30^2 - 2 \cdot 17 \cdot 30 \cdot (-\frac{36}{85})$$BD^2 = 289 + 900 + \frac{2 \cdot 17 \cdot 30 \cdot 36}{85}$$BD^2 = 1189 + \frac{1020 \cdot 36}{85}$. Так как $1020 = 12 \cdot 85$, то:$BD^2 = 1189 + 12 \cdot 36 = 1189 + 432 = 1621$. Следовательно, длина диагонали $BD$ равна:$BD = \sqrt{1621}$ см.

Ответ: Длина диагонали $BD$ равна $\sqrt{1621}$ см.