Номер 579, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

579. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4 см. Найдите площадь сечения призмы, проведенного через другой катет и противолежащую вершину другого основания, учитывая, что боковое ребро призмы равно 3 см, а площадь описанного около нее шара — $61\pi \text{ см}^2$.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. По условию, один из катетов равен 4 см, пусть $a = AC = 4$ см. Боковое ребро призмы, равное ее высоте $H$, составляет 3 см, то есть $H = CC_1 = 3$ см. Площадь описанного около призмы шара равна $S_{шара} = 61\pi$ см².

Сначала найдем квадрат радиуса $R$ описанного шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$. Из условия имеем:$4\pi R^2 = 61\pi$$R^2 = \frac{61\pi}{4\pi} = \frac{61}{4}$

Радиус шара, описанного около прямой призмы, связан с радиусом окружности, описанной около основания призмы ($R_{осн}$), и высотой призмы ($H$) соотношением:$R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$Для прямоугольного треугольника в основании радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R_{осн} = \frac{c}{2}$. Подставим известные значения в формулу:$\frac{61}{4} = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2$$\frac{61}{4} = \frac{c^2}{4} + \frac{9}{4}$Умножим обе части уравнения на 4:$61 = c^2 + 9$$c^2 = 61 - 9 = 52$Таким образом, квадрат гипотенузы основания равен 52.

Теперь найдем второй катет $b = BC$ основания, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:$4^2 + b^2 = 52$$16 + b^2 = 52$$b^2 = 52 - 16 = 36$$b = \sqrt{36} = 6$ см. Итак, катеты основания равны 4 см и 6 см.

Требуется найти площадь сечения, проведенного через другой катет (то есть $BC$, так как данный катет — $AC=4$ см) и противолежащую вершину другого основания (вершину $A_1$). Искомое сечение — это треугольник $A_1BC$. Найдем площадь этого треугольника. В прямой призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а следовательно, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и катету $BC$. Таким образом, $CC_1 \perp BC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$, то $AC \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей этой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp A_1C$. Значит, треугольник $A_1BC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Его площадь равна половине произведения катетов $BC$ и $A_1C$:$S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1C$Длину катета $BC$ мы нашли, она равна 6 см. Длину $A_1C$ найдем из прямоугольного треугольника $A_1CC_1$ (он прямоугольный, так как призма прямая). Катеты этого треугольника — $AC=4$ см и $CC_1=H=3$ см. По теореме Пифагора:$A_1C^2 = AC^2 + CC_1^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$A_1C = \sqrt{25} = 5$ см. Теперь можем вычислить площадь сечения:$S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ см².

Ответ: $15$ см².