Номер 586, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

586. В конус высотой 24 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Найдите отношение полных поверхностей пирамиды и конуса.

Для решения задачи необходимо найти полные поверхности пирамиды и конуса, а затем найти их отношение.

1. Нахождение полной поверхности пирамиды ($S_{пир}$)

Полная поверхность пирамиды равна сумме площади ее основания и площади боковой поверхности: $S_{пир} = S_{осн\_пир} + S_{бок\_пир}$.

а) Площадь основания пирамиды.
Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 12$ см и $b = 16$ см. Его площадь: $S_{осн\_пир} = a \cdot b = 12 \cdot 16 = 192$ см².

б) Площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая поверхность состоит из четырех треугольных граней (двух пар равных треугольников). Так как пирамида вписана в конус, ее высота $H = 24$ см опускается в центр окружности, описанной около прямоугольника, то есть в точку пересечения его диагоналей.

Для нахождения площади боковых граней нам нужны их высоты — апофемы.

Апофема $h_a$, проведенная к стороне $a = 12$ см, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота пирамиды $H$ и половина стороны $b$. $h_a = \sqrt{H^2 + (b/2)^2} = \sqrt{24^2 + (16/2)^2} = \sqrt{24^2 + 8^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Апофема $h_b$, проведенная к стороне $b = 16$ см, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота пирамиды $H$ и половина стороны $a$. $h_b = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{24^2 + (12/2)^2} = \sqrt{24^2 + 6^2} = \sqrt{576 + 36} = \sqrt{612} = \sqrt{36 \cdot 17} = 6\sqrt{17}$ см.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей двух граней с основанием $a$ и двух граней с основанием $b$: $S_{бок\_пир} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b) = a \cdot h_a + b \cdot h_b$ $S_{бок\_пир} = 12 \cdot 8\sqrt{10} + 16 \cdot 6\sqrt{17} = 96\sqrt{10} + 96\sqrt{17} = 96(\sqrt{10} + \sqrt{17})$ см².

в) Полная поверхность пирамиды.
$S_{пир} = S_{осн\_пир} + S_{бок\_пир} = 192 + 96(\sqrt{10} + \sqrt{17})$. Вынесем общий множитель 96 за скобки: $S_{пир} = 96(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})$ см².

2. Нахождение полной поверхности конуса ($S_{кон}$)

Полная поверхность конуса равна сумме площади его основания и площади боковой поверхности: $S_{кон} = S_{осн\_кон} + S_{бок\_кон} = \pi R^2 + \pi R L$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — образующая.

а) Радиус основания конуса.
Так как прямоугольное основание пирамиды вписано в круглое основание конуса, то диагональ прямоугольника является диаметром этого круга. Найдем диагональ $d$ прямоугольника по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см. Радиус основания конуса $R = d/2 = 20/2 = 10$ см.

б) Образующая конуса.
Образующая $L$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — высота конуса $H$ и радиус его основания $R$. $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ см.

в) Полная поверхность конуса.
$S_{кон} = \pi R^2 + \pi R L = \pi \cdot 10^2 + \pi \cdot 10 \cdot 26 = 100\pi + 260\pi = 360\pi$ см².

3. Нахождение отношения полных поверхностей

Найдем отношение полной поверхности пирамиды к полной поверхности конуса: $\frac{S_{пир}}{S_{кон}} = \frac{96(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})}{360\pi}$.

Сократим числовой коэффициент $\frac{96}{360}$. Наибольший общий делитель чисел 96 и 360 равен 24. $\frac{96}{360} = \frac{96 \div 24}{360 \div 24} = \frac{4}{15}$.

Таким образом, искомое отношение равно: $\frac{4(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})}{15\pi}$.

Ответ: $\frac{4(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})}{15\pi}$.