Номер 591, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

591. Диаметры трех шаров такие, что они могут быть сторонами прямоугольного треугольника. Установите зависимость между поверхностями шаров.

Пусть диаметры трех шаров равны $d_1$, $d_2$ и $d_3$. Согласно условию, эти величины являются сторонами прямоугольного треугольника. Обозначим катеты этого треугольника как $d_1$ и $d_2$, а гипотенузу — как $d_3$.

По теореме Пифагора для этого треугольника справедливо равенство: $d_1^2 + d_2^2 = d_3^2$

Площадь поверхности шара (S) вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ — радиус шара. Так как диаметр $d = 2r$, то радиус $r = d/2$. Подставив это в формулу площади поверхности, получим зависимость площади от диаметра: $S = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{d^2}{4} = \pi d^2$

Таким образом, площади поверхностей трех шаров равны:

• $S_1 = \pi d_1^2$
• $S_2 = \pi d_2^2$
• $S_3 = \pi d_3^2$

Теперь вернемся к равенству из теоремы Пифагора $d_1^2 + d_2^2 = d_3^2$ и умножим обе его части на $\pi$: $\pi(d_1^2 + d_2^2) = \pi d_3^2$

Раскроем скобки: $\pi d_1^2 + \pi d_2^2 = \pi d_3^2$

Заменим выражения $\pi d^2$ на соответствующие площади поверхностей $S$: $S_1 + S_2 = S_3$

Таким образом, мы установили, что площадь поверхности шара, диаметр которого является гипотенузой, равна сумме площадей поверхностей двух других шаров, диаметры которых являются катетами.

Ответ: Площадь поверхности наибольшего шара равна сумме площадей поверхностей двух других шаров ($S_3 = S_1 + S_2$).