Номер 594, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

594. Докажите, что сечения шара двумя плоскостями, проходящими через концы одного диаметра под равными углами к нему, равновелики.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — некоторый диаметр этого шара, где $A$ и $B$ — точки на поверхности шара.

Рассмотрим две плоскости, $\alpha$ и $\beta$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $A$, а плоскость $\beta$ — через точку $B$. Также по условию, обе плоскости образуют с диаметром $AB$ равные углы. Обозначим этот угол как $\gamma$.

Любое сечение шара плоскостью является кругом (в частном случае, точкой). Площадь такого круга-сечения $S$ определяется его радиусом $r$. Радиус сечения, в свою очередь, зависит от радиуса шара $R$ и расстояния $d$ от центра шара до секущей плоскости. Эта зависимость выражается формулой, следующей из теоремы Пифагора: $r^2 = R^2 - d^2$. Соответственно, площадь сечения равна $S = \pi r^2 = \pi(R^2 - d^2)$.

Из этой формулы видно, что площади двух сечений одного и того же шара будут равны тогда и только тогда, когда равны расстояния от центра шара до плоскостей этих сечений. Таким образом, чтобы доказать, что сечения равновелики, нам необходимо доказать, что расстояния от центра шара $O$ до плоскостей $\alpha$ и $\beta$ равны.

1. Найдем расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$.

Пусть $d_1$ — это расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$. По определению, это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $O_1$. Таким образом, $d_1 = OO_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO_1$ с прямым углом при вершине $O_1$. Его гипотенуза $OA$ является радиусом шара, то есть $OA = R$. Катет $OO_1$ равен искомому расстоянию $d_1$. Угол $\angle OAO_1$ — это угол между прямой $OA$ (которая является частью диаметра $AB$) и ее проекцией $AO_1$ на плоскость $\alpha$. По определению, это и есть угол между прямой $OA$ и плоскостью $\alpha$. Так как прямая $OA$ лежит на прямой $AB$, этот угол равен углу между диаметром $AB$ и плоскостью $\alpha$, то есть $\gamma$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle OAO_1$ имеем:$ \sin(\gamma) = \frac{OO_1}{OA} = \frac{d_1}{R} $Отсюда находим расстояние $d_1$:$ d_1 = R \sin(\gamma) $

2. Найдем расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\beta$.

Пусть $d_2$ — это расстояние от точки $O$ до плоскости $\beta$. Аналогично предыдущему пункту, опустим перпендикуляр из точки $O$ на плоскость $\beta$ и обозначим его основание как $O_2$. Тогда $d_2 = OO_2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBO_2$ с прямым углом при вершине $O_2$. Его гипотенуза $OB$ является радиусом шара, то есть $OB = R$. Катет $OO_2$ равен искомому расстоянию $d_2$. Угол $\angle OBO_2$ — это угол между прямой $OB$ (частью диаметра $AB$) и ее проекцией $BO_2$ на плоскость $\beta$. Этот угол равен углу между диаметром $AB$ и плоскостью $\beta$, то есть, по условию, также равен $\gamma$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle OBO_2$ имеем:$ \sin(\gamma) = \frac{OO_2}{OB} = \frac{d_2}{R} $Отсюда находим расстояние $d_2$:$ d_2 = R \sin(\gamma) $

3. Сравнение площадей сечений.

Мы получили, что расстояние от центра шара до плоскости $\alpha$ равно $d_1 = R \sin(\gamma)$, и расстояние до плоскости $\beta$ равно $d_2 = R \sin(\gamma)$. Следовательно, $d_1 = d_2$.

Площадь сечения $S_1$, образованного плоскостью $\alpha$, равна:$ S_1 = \pi(R^2 - d_1^2) $Площадь сечения $S_2$, образованного плоскостью $\beta$, равна:$ S_2 = \pi(R^2 - d_2^2) $Так как $d_1 = d_2$, то $d_1^2 = d_2^2$, а значит $R^2 - d_1^2 = R^2 - d_2^2$. Следовательно, $S_1 = S_2$.

Таким образом, мы доказали, что сечения шара двумя плоскостями, проходящими через концы одного диаметра под равными углами к нему, имеют равные площади, то есть являются равновеликими.

Ответ: Утверждение доказано.