Номер 601, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

601. Через точку высоты полушара проведена перпендикулярная ей плоскость и в полученные шаровые сегмент и слой вписаны такие конус и цилиндр соответственно, что сечение полушара является их общим основанием. Найдите такое положение сечения, при котором боковые поверхности конуса и цилиндра равны.

Пусть $R$ — радиус полушара, который также является его высотой. Проведем секущую плоскость на расстоянии $h$ от основания полушара, перпендикулярно его высоте. При этом $0 < h < R$.

Эта плоскость образует в сечении полушара круг. Радиус этого круга, обозначим его $r$, можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом полушара $R$, высотой $h$ и радиусом сечения $r$. По теореме Пифагора:$r^2 + h^2 = R^2$$r = \sqrt{R^2 - h^2}$

Секущая плоскость делит полушар на шаровой сегмент (сверху) и шаровой слой (снизу). В шаровой сегмент вписан конус, а в шаровой слой — цилиндр. Круг сечения радиусом $r$ является их общим основанием.

Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Высота конуса $H_к$ равна высоте шарового сегмента: $H_к = R - h$. Радиус основания конуса равен $r = \sqrt{R^2 - h^2}$. Образующую конуса $l_к$ найдем по теореме Пифагора:$l_к^2 = H_к^2 + r^2 = (R - h)^2 + (\sqrt{R^2 - h^2})^2 = (R^2 - 2Rh + h^2) + (R^2 - h^2) = 2R^2 - 2Rh = 2R(R - h)$.$l_к = \sqrt{2R(R - h)}$. Площадь боковой поверхности конуса $S_к$ вычисляется по формуле $S_к = \pi r l_к$:$S_к = \pi \sqrt{R^2 - h^2} \sqrt{2R(R - h)}$.

Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.
Высота цилиндра $H_ц$ равна высоте шарового слоя: $H_ц = h$. Радиус основания цилиндра равен $r = \sqrt{R^2 - h^2}$. Площадь боковой поверхности цилиндра $S_ц$ вычисляется по формуле $S_ц = 2\pi r H_ц$:$S_ц = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2}$.

Приравняем площади и найдем $h$.
По условию задачи $S_к = S_ц$:$\pi \sqrt{R^2 - h^2} \sqrt{2R(R - h)} = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2}$.

Так как $0 < h < R$, то $R^2 - h^2 > 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\pi \sqrt{R^2 - h^2}$, не теряя решений:$\sqrt{2R(R - h)} = 2h$.

Возведем обе части уравнения в квадрат (обе части неотрицательны при $h > 0$):$2R(R - h) = (2h)^2$$2R^2 - 2Rh = 4h^2$.

Получим квадратное уравнение относительно $h$:$4h^2 + 2Rh - 2R^2 = 0$. Разделим все члены на 2:$2h^2 + Rh - R^2 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a=2$, $b=R$, $c=-R^2$.$D = b^2 - 4ac = R^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-R^2) = R^2 + 8R^2 = 9R^2$.$h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-R \pm \sqrt{9R^2}}{4} = \frac{-R \pm 3R}{4}$.

Уравнение имеет два корня:$h_1 = \frac{-R + 3R}{4} = \frac{2R}{4} = \frac{R}{2}$.$h_2 = \frac{-R - 3R}{4} = \frac{-4R}{4} = -R$.

Поскольку $h$ — это расстояние, оно должно быть положительным ($h > 0$). Также из условия $h < R$. Этим условиям удовлетворяет только корень $h_1 = \frac{R}{2}$. Следовательно, искомое положение сечения — на половине высоты полушара.

Ответ: Сечение должно быть проведено на расстоянии $\frac{R}{2}$ от основания полушара, где $R$ — радиус полушара. Другими словами, сечение должно делить высоту полушара пополам.