Номер 595, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

595. Внутри шара с радиусом $r$ взята точка, отстоящая от центра на $d$.

Через него проведены три попарно перпендикулярные плоскости.

Найдите сумму площадей трех полученных сечений.

Пусть центр шара $O$ совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$ в трехмерной декартовой системе координат. Радиус шара равен $r$. Внутри шара задана точка $A$, расстояние которой от центра $O$ равно $d$.

Через точку $A$ проведены три взаимно перпендикулярные плоскости. Для удобства вычислений сориентируем оси координат $Ox, Oy, Oz$ таким образом, чтобы они были перпендикулярны этим трем плоскостям. В этом случае плоскости будут параллельны координатным плоскостям $yz, xz$ и $xy$.

Пусть координаты точки $A$ в этой системе равны $(x_A, y_A, z_A)$. Тогда квадрат расстояния от точки $A$ до центра $O$ вычисляется по формуле: $d^2 = x_A^2 + y_A^2 + z_A^2$.

Уравнения трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку $A(x_A, y_A, z_A)$, будут иметь вид $x = x_A$, $y = y_A$ и $z = z_A$. Расстояния от центра шара $O(0,0,0)$ до этих плоскостей равны соответственно $h_1 = |x_A|$, $h_2 = |y_A|$ и $h_3 = |z_A|$.

Каждая из этих плоскостей пересекает шар, образуя в сечении круг. Площадь круга, полученного при пересечении шара радиуса $r$ плоскостью, находящейся на расстоянии $h$ от центра шара, вычисляется по формуле $S = \pi \cdot r_{сеч}^2$. Радиус сечения $r_{сеч}$ можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $r$ (гипотенуза), расстоянием от центра до плоскости $h$ (катет) и радиусом сечения $r_{сеч}$ (другой катет). Имеем: $r^2 = h^2 + r_{сеч}^2$. Отсюда $r_{сеч}^2 = r^2 - h^2$. Таким образом, площадь сечения равна $S = \pi(r^2 - h^2)$.

Теперь найдем площади трех полученных сечений:

Площадь первого сечения $S_1$, образованного плоскостью на расстоянии $h_1 = |x_A|$ от центра, равна: $S_1 = \pi(r^2 - h_1^2) = \pi(r^2 - x_A^2)$.

Площадь второго сечения $S_2$, образованного плоскостью на расстоянии $h_2 = |y_A|$ от центра, равна: $S_2 = \pi(r^2 - h_2^2) = \pi(r^2 - y_A^2)$.

Площадь третьего сечения $S_3$, образованного плоскостью на расстоянии $h_3 = |z_A|$ от центра, равна: $S_3 = \pi(r^2 - h_3^2) = \pi(r^2 - z_A^2)$.

Сумма площадей трех сечений $S_{общ}$ равна: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi(r^2 - x_A^2) + \pi(r^2 - y_A^2) + \pi(r^2 - z_A^2)$.

Вынесем $\pi$ за скобки и сгруппируем слагаемые: $S_{общ} = \pi[(r^2 - x_A^2) + (r^2 - y_A^2) + (r^2 - z_A^2)] = \pi[3r^2 - (x_A^2 + y_A^2 + z_A^2)]$.

Как мы установили ранее, $x_A^2 + y_A^2 + z_A^2 = d^2$. Подставим это выражение в формулу для суммы площадей: $S_{общ} = \pi(3r^2 - d^2)$.

Стоит отметить, что полученный результат не зависит от конкретной ориентации трех взаимно перпендикулярных плоскостей, а определяется только радиусом шара $r$ и расстоянием $d$ от данной точки до центра.

Ответ: $\pi(3r^2 - d^2)$