Номер 585, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

585. Центральный угол развертки боковой поверхности конуса равен $90^\circ$.

Найдите площадь его осевого сечения, учитывая, что радиус основания конуса равен 6 см.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, $h$ — высота, а $\alpha$ — центральный угол развертки боковой поверхности.

Согласно условию, радиус основания конуса $r = 6$ см, а центральный угол развертки $\alpha = 90^\circ$.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса $l$. Длина дуги этого сектора $L_{дуги}$ равна длине окружности основания конуса $C$.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле: $C = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 6 = 12\pi$ см.

Длина дуги кругового сектора с радиусом $l$ и центральным углом $\alpha$ вычисляется по формуле: $L_{дуги} = \frac{2 \pi l}{360^\circ} \cdot \alpha$.

Так как $L_{дуги} = C$, мы можем составить уравнение для нахождения образующей $l$: $\frac{2 \pi l}{360^\circ} \cdot 90^\circ = 12\pi$ $\frac{2 \pi l}{4} = 12\pi$ $\frac{\pi l}{2} = 12\pi$ Разделим обе части на $\pi$: $\frac{l}{2} = 12$ $l = 24$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $d = 2r$, а боковые стороны равны образующей $l$. Высота этого треугольника является высотой конуса $h$.

Высоту конуса $h$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$ $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ Подставим известные значения $l = 24$ см и $r = 6$ см: $h = \sqrt{24^2 - 6^2} = \sqrt{576 - 36} = \sqrt{540}$ см.

Упростим значение корня: $\sqrt{540} = \sqrt{36 \cdot 15} = 6\sqrt{15}$ см.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ (площадь равнобедренного треугольника) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$ Подставим значения $r$ и $h$: $S_{сеч} = 6 \cdot 6\sqrt{15} = 36\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{15}$ см$^2$.