Номер 581, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

581. Две полуплоскости с общей границей касаются цилиндра, а двугранный угол между ними, обращенный к цилиндру, равен $60^\circ$. Выясните, в каком отношении линии касания этих поверхностей разделили боковую поверхность цилиндра.

Рассмотрим сечение данной геометрической конструкции плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра. В сечении цилиндр представляет собой окружность, а две касающиеся его полуплоскости — две касательные к этой окружности. Угол между этими касательными будет равен линейному углу данного двугранного угла, то есть $60°$.

Пусть $O$ — центр окружности в сечении, $R$ — её радиус. Пусть касательные пересекаются в точке $P$ и касаются окружности в точках $A$ и $B$. По условию, угол между касательными $\angle APB = 60°$.

Соединим центр окружности $O$ с точками касания $A$ и $B$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому $\angle OAP = 90°$ и $\angle OBP = 90°$.

Рассмотрим четырехугольник $OAPB$. Сумма его внутренних углов равна $360°$. Отсюда мы можем найти центральный угол $\angle AOB$, который стягивает дугу между точками касания $A$ и $B$: $$ \angle AOB = 360° - \angle OAP - \angle OBP - \angle APB $$ Подставив известные значения, получим: $$ \angle AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120° $$

Линии касания на поверхности цилиндра — это две его образующие. Они разделяют боковую поверхность цилиндра на две части. Отношение площадей этих частей равно отношению длин дуг, на которые точки касания $A$ и $B$ делят окружность основания. В свою очередь, отношение длин дуг равно отношению соответствующих им центральных углов.

Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги. Центральный угол меньшей дуги равен $\alpha_1 = \angle AOB = 120°$. Центральный угол большей дуги равен $\alpha_2 = 360° - 120° = 240°$.

Следовательно, искомое отношение площадей частей боковой поверхности равно: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{120°}{240°} = \frac{1}{2} $$

Ответ: $1:2$.