Номер 574, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

574. Найдите площадь каждого из треугольников, на которые разделяется четырехугольник с площадью $45 \, \text{м}^2$ точкой пересечения диагоналей, учитывая, что эта точка разделяет их в отношениях $2 : 3$ и $4 : 5$.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$ с площадью $S_{ABCD} = 45$ м². Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, точка пересечения делит диагонали в отношениях $2:3$ и $4:5$. Примем, что $AO : OC = 2 : 3$ и $BO : OD = 4 : 5$.

Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Для нахождения их площадей воспользуемся свойством: площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как длины их оснований.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. У них общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований: $$ \frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC} = \frac{2}{3} $$

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOA$. У них общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BD$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований: $$ \frac{S_{AOB}}{S_{DOA}} = \frac{BO}{OD} = \frac{4}{5} $$

3. Теперь выразим площади всех треугольников через площадь одного из них, например, $S_{AOB}$. Из первого соотношения имеем: $$ S_{BOC} = \frac{3}{2} S_{AOB} $$ Из второго соотношения имеем: $$ S_{DOA} = \frac{5}{4} S_{AOB} $$

4. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle COD$. У них общая высота из вершины $C$ к прямой $BD$. Их площади относятся как основания $BO$ и $OD$: $$ \frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{4}{5} \implies S_{COD} = \frac{5}{4} S_{BOC} $$ Подставим выражение для $S_{BOC}$ через $S_{AOB}$: $$ S_{COD} = \frac{5}{4} \left(\frac{3}{2} S_{AOB}\right) = \frac{15}{8} S_{AOB} $$

5. Теперь у нас есть площади всех четырех треугольников, выраженные через $S_{AOB}$. Сумма их площадей равна площади всего четырехугольника: $$ S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} = 45 $$ Подставим полученные выражения: $$ S_{AOB} + \frac{3}{2} S_{AOB} + \frac{15}{8} S_{AOB} + \frac{5}{4} S_{AOB} = 45 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $8$: $$ \frac{8}{8}S_{AOB} + \frac{12}{8} S_{AOB} + \frac{15}{8} S_{AOB} + \frac{10}{8} S_{AOB} = 45 $$ $$ \frac{8 + 12 + 15 + 10}{8} S_{AOB} = 45 $$ $$ \frac{45}{8} S_{AOB} = 45 $$ $$ S_{AOB} = 8 \text{ м}^2 $$

6. Теперь найдем площади остальных треугольников: $$ S_{BOC} = \frac{3}{2} S_{AOB} = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12 \text{ м}^2 $$ $$ S_{DOA} = \frac{5}{4} S_{AOB} = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10 \text{ м}^2 $$ $$ S_{COD} = \frac{15}{8} S_{AOB} = \frac{15}{8} \cdot 8 = 15 \text{ м}^2 $$

Проверим: $8 + 12 + 15 + 10 = 45$ м². Все верно.

Ответ: Площади треугольников, на которые разделяется четырехугольник, равны 8 м², 10 м², 12 м² и 15 м².