Номер 569, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

569. Из четырех треугольников, на которые разделена трапеция своими диагоналями, треугольники, прилежащие к основаниям, имеют площади $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Они разделяют трапецию на четыре треугольника: ΔBOC, ΔAOD, ΔAOB и ΔCOD.

По условию, площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны $S_1$ и $S_2$. Пусть площадь треугольника ΔBOC равна $S_1$, а площадь треугольника ΔAOD равна $S_2$. Обозначим площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, как $S_{AOB}$ и $S_{COD}$.

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔACD. У них общее основание AD, а их высоты, опущенные из вершин B и C на прямую AD, равны, так как BC || AD. Следовательно, площади этих треугольников равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

Площадь ΔABD состоит из площадей ΔAOB и ΔAOD ($S_{ABD} = S_{AOB} + S_{AOD}$), а площадь ΔACD состоит из площадей ΔCOD и ΔAOD ($S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD}$).

Приравнивая их, получаем: $S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COD} + S_{AOD}$, откуда $S_{AOB} = S_{COD}$. Это означает, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны. Обозначим эту площадь как $S_x$.

Далее, рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔBOC. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины B к диагонали AC. Отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$.

Аналогично для треугольников ΔAOD и ΔCOD, имеющих общую высоту из вершины D к диагонали AC: $\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}$.

Приравнивая правые части, получаем: $\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}}$.

Подставим известные нам обозначения площадей: $\frac{S_x}{S_1} = \frac{S_2}{S_x}$.

Из этой пропорции следует, что $S_x^2 = S_1 \cdot S_2$, а значит $S_x = \sqrt{S_1 S_2}$.

Площадь всей трапеции $S_{трапеции}$ равна сумме площадей четырех составляющих ее треугольников: $S_{трапеции} = S_1 + S_2 + S_{AOB} + S_{COD} = S_1 + S_2 + S_x + S_x = S_1 + S_2 + 2S_x$.

Подставим найденное значение для $S_x$: $S_{трапеции} = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}$.

Это выражение является формулой квадрата суммы: $S_{трапеции} = (\sqrt{S_1})^2 + 2\sqrt{S_1}\sqrt{S_2} + (\sqrt{S_2})^2 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.

Ответ: Площадь трапеции равна $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.