Номер 566, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

566. Найдите большую сторону трапеции, учитывая, что три ее стороны равны друг другу, площадь равна $8 \text{ см}^2$, а острый угол — $30^\circ$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, три стороны трапеции равны. Так как основания трапеции по определению не равны (иначе это был бы параллелограмм, у которого равны противолежащие стороны, что не соответствует условию "три равные стороны"), то равными сторонами могут быть только две боковые стороны и одно из оснований. Это означает, что трапеция является равнобедренной. Обозначим длину равных сторон через $x$.

Возможны два случая:
1) Боковые стороны и меньшее основание равны $x$. То есть, $AB = CD = BC = x$.
2) Боковые стороны и большее основание равны $x$. То есть, $AB = CD = AD = x$.

Рассмотрим второй случай. Пусть боковые стороны и большее основание равны $x$, то есть $AB = CD = AD = x$. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB = x$, а острый угол $\angle A = 30^\circ$. Длина отрезка $AH$ равна $AH = AB \cdot \cos(30^\circ) = x \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как трапеция равнобедренная, $KD = AH = x \frac{\sqrt{3}}{2}$. Длина большего основания $AD$ связана с длиной меньшего основания $BC$ формулой $AD = AH + HK + KD$. Так как $BCKH$ — прямоугольник, то $HK = BC$. Получаем: $AD = x\frac{\sqrt{3}}{2} + BC + x\frac{\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3} + BC$. По нашему предположению, $AD = x$. Тогда $x = x\sqrt{3} + BC$, откуда $BC = x - x\sqrt{3} = x(1-\sqrt{3})$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, выражение $1-\sqrt{3}$ является отрицательным, а длина стороны не может быть отрицательной. Следовательно, этот случай невозможен.

Рассмотрим первый случай: боковые стороны $AB = CD = x$ и меньшее основание $BC = x$. Острый угол при большем основании $\angle A = 30^\circ$. Проведем высоту $BH$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ с гипотенузой $AB=x$ и углом $\angle A = 30^\circ$ найдем высоту трапеции $h$ и отрезок $AH$. Высота $h = BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$. Отрезок $AH = AB \cdot \cos(30^\circ) = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Большее основание $AD$ состоит из отрезков $AH$, $HK$ и $KD$. Так как трапеция равнобедренная, $KD = AH = \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Отрезок $HK$ равен меньшему основанию $BC$, то есть $HK=x$. Таким образом, большее основание $AD = AH + HK + KD = \frac{x\sqrt{3}}{2} + x + \frac{x\sqrt{3}}{2} = x + x\sqrt{3} = x(1+\sqrt{3})$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Подставим найденные выражения для оснований и высоты:$S = \frac{x(1+\sqrt{3}) + x}{2} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x(1+\sqrt{3}+1)}{2} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x(2+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2(2+\sqrt{3})}{4}$.

По условию задачи, площадь трапеции равна $8 \text{ см}^2$. Составим и решим уравнение:$\frac{x^2(2+\sqrt{3})}{4} = 8$$x^2(2+\sqrt{3}) = 32$$x^2 = \frac{32}{2+\sqrt{3}}$Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{3})$:$x^2 = \frac{32(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{32(2-\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{32(2-\sqrt{3})}{4-3} = 32(2-\sqrt{3})$.

Нам необходимо найти большую сторону трапеции. Сравним длины сторон: меньшее основание и боковые стороны равны $x$, а большее основание равно $AD = x(1+\sqrt{3})$. Так как $1+\sqrt{3} > 1$, то $x(1+\sqrt{3}) > x$. Следовательно, большей стороной является большее основание $AD$. Найдем его длину. Возведем выражение для $AD$ в квадрат:$AD^2 = (x(1+\sqrt{3}))^2 = x^2(1+\sqrt{3})^2$. Подставим найденное значение для $x^2$:$AD^2 = 32(2-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})^2 = 32(2-\sqrt{3})(1+2\sqrt{3}+3) = 32(2-\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})$. Вынесем 2 за скобки во втором множителе:$AD^2 = 32(2-\sqrt{3}) \cdot 2(2+\sqrt{3}) = 64(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$. Применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получим:$AD^2 = 64(2^2 - (\sqrt{3})^2) = 64(4-3) = 64(1) = 64$. Отсюда, $AD = \sqrt{64} = 8$. Таким образом, большая сторона трапеции равна $8$ см.

Ответ: 8 см.