Номер 564, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

564. Основания трапеции равны 5 см и 11 см, а высота — 5 см. Определите, на каком расстоянии от меньшего основания нужно провести прямую, параллельную ему, чтобы площадь трапеции разделилась в отношении 9 : 8, если считать от меньшего основания.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 11$ см, $b = 5$ см и высотой $h = 5$ см. Необходимо найти расстояние $x$ от меньшего основания, на котором нужно провести прямую, параллельную основаниям, чтобы она разделила площадь трапеции в отношении $9:8$.

1. Сначала найдем общую площадь трапеции $S_{total}$ по формуле:

$S_{total} = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения:

$S_{total} = \frac{11+5}{2} \cdot 5 = \frac{16}{2} \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$ см².

2. Разделяющая прямая делит трапецию на две меньшие трапеции. Пусть площадь трапеции, прилегающей к меньшему основанию $b$, равна $S_1$, а площадь трапеции, прилегающей к большему основанию $a$, равна $S_2$. По условию, их площади соотносятся как $9:8$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{8}$

Общая площадь является суммой площадей этих двух частей: $S_{total} = S_1 + S_2$. Таким образом, мы можем найти площадь $S_1$:

$S_1 = S_{total} \cdot \frac{9}{9+8} = 40 \cdot \frac{9}{17} = \frac{360}{17}$ см².

3. Обозначим длину отрезка, делящего трапецию, как $m$. Этот отрезок находится на расстоянии $x$ от меньшего основания $b$. Длина этого отрезка линейно зависит от расстояния $x$. Формула для длины отрезка $m$, находящегося на расстоянии $x$ от основания $b$ в трапеции с высотой $h$ и основаниями $a$ и $b$, выглядит так:

$m = b + \frac{a-b}{h}x$

Подставим наши значения:

$m = 5 + \frac{11-5}{5}x = 5 + \frac{6}{5}x$

4. Площадь верхней трапеции $S_1$ с основаниями $b$ и $m$ и высотой $x$ вычисляется по формуле:

$S_1 = \frac{b+m}{2} \cdot x$

Подставим выражение для $m$:

$S_1 = \frac{5 + (5 + \frac{6}{5}x)}{2} \cdot x = \frac{10 + \frac{6}{5}x}{2} \cdot x = (5 + \frac{3}{5}x)x = 5x + \frac{3}{5}x^2$

5. Теперь у нас есть два выражения для $S_1$. Приравняем их, чтобы найти $x$:

$5x + \frac{3}{5}x^2 = \frac{360}{17}$

Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на $5 \cdot 17 = 85$:

$85 \cdot (5x + \frac{3}{5}x^2) = 85 \cdot \frac{360}{17}$

$425x + 51x^2 = 5 \cdot 360$

$51x^2 + 425x = 1800$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$51x^2 + 425x - 1800 = 0$

6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 425^2 - 4 \cdot 51 \cdot (-1800) = 180625 + 367200 = 547825$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{-425 \pm \sqrt{547825}}{2 \cdot 51} = \frac{-425 \pm \sqrt{547825}}{102}$

Поскольку $x$ представляет собой расстояние, оно должно быть положительным значением. Корень $x_2 = \frac{-425 - \sqrt{547825}}{102}$ является отрицательным и не подходит по смыслу задачи. Следовательно, выбираем корень со знаком "плюс":

$x = \frac{-425 + \sqrt{547825}}{102}$

Можно частично извлечь корень из дискриминанта: $\sqrt{547825} = \sqrt{25 \cdot 21913} = 5\sqrt{21913}$.

Тогда точный ответ можно записать как:

$x = \frac{-425 + 5\sqrt{21913}}{102}$ см.

Вычислим приблизительное значение:

$x \approx \frac{-425 + 740.15}{102} \approx \frac{315.15}{102} \approx 3.09$ см.

Ответ: Прямую нужно провести на расстоянии $\frac{-425 + \sqrt{547825}}{102}$ см (или, что то же самое, $\frac{-425 + 5\sqrt{21913}}{102}$ см) от меньшего основания.