Номер 568, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

568. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны:

а) 6 и 8, а отрезок, соединяющий середины оснований, — 5;

б) $m$ и $n$, а средняя линия — $l$.

Для решения задачи воспользуемся общими свойствами и формулами для трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$. Диагонали трапеции — $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Площадь трапеции $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между диагоналями.

а)

По условию даны длины диагоналей $d_1 = 6$ и $d_2 = 8$, а также длина отрезка, соединяющего середины оснований, $k=5$.

Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Длина отрезка $MN = k = 5$.

Для нахождения площади найдем угол $\alpha$ между диагоналями. Для этого установим связь между длинами диагоналей, углом между ними и длиной отрезка $MN$. Воспользуемся векторным методом.

Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда координаты середин оснований можно выразить через координаты вершин:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OD})$

Вектор $\vec{MN}$ равен разности векторов $\vec{ON}$ и $\vec{OM}$:

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OD} - \vec{OB} - \vec{OC}) = \frac{1}{2}((\vec{OA} - \vec{OC}) + (\vec{OD} - \vec{OB}))$

Выражения в скобках представляют собой векторы диагоналей:

$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = -\vec{AC}$

$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$

Подставим их в выражение для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{BD}) = \frac{1}{2}(-\vec{AC} + \vec{BD})$

Найдем квадрат длины вектора $\vec{MN}$, возведя скалярно обе части равенства на себя:

$|\vec{MN}|^2 = \frac{1}{4}|-\vec{AC} + \vec{BD}|^2 = \frac{1}{4}(-\vec{AC} + \vec{BD}) \cdot (-\vec{AC} + \vec{BD})$

$k^2 = \frac{1}{4}(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 - 2\vec{AC} \cdot \vec{BD})$

Так как $|\vec{AC}| = d_1$, $|\vec{BD}| = d_2$ и $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = d_1d_2\cos\alpha$, получаем формулу:

$4k^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos\alpha$

Подставим известные значения: $d_1=6$, $d_2=8$, $k=5$.

$4 \cdot 5^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos\alpha$

$4 \cdot 25 = 36 + 64 - 96\cos\alpha$

$100 = 100 - 96\cos\alpha$

Отсюда следует, что $96\cos\alpha = 0$, то есть $\cos\alpha = 0$.

Это означает, что угол между диагоналями $\alpha = 90^\circ$. Диагонали трапеции перпендикулярны.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 1 = 24$.

Ответ: 24.

б)

По условию даны длины диагоналей $d_1=m$ и $d_2=n$, а также средняя линия $l$.

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: $S = l \cdot h$. Наша задача — найти площадь, используя $m, n, l$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $a=AD$ и $b=BC$. Средняя линия $l = \frac{a+b}{2}$.

Выполним дополнительное построение. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (поскольку $BC \parallel AD$) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $CE = BD = n$ и $DE = BC = b$.

Рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны равны:

• $AC = d_1 = m$
• $CE = d_2 = n$
• $AE = AD + DE = a + b$

Высота трапеции $h$, опущенная из вершины $C$ на основание $AD$, является также высотой треугольника $ACE$, опущенной на сторону $AE$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$.

Площадь треугольника $ACE$ равна $S_{ACE} = \frac{1}{2}AE \cdot h = \frac{1}{2}(a+b)h$.

Таким образом, площадь трапеции равна площади треугольника $ACE$.

Мы знаем все стороны треугольника $ACE$: $m$, $n$ и $a+b$. Так как средняя линия $l = \frac{a+b}{2}$, то сторона $AE = a+b = 2l$.

Площадь треугольника со сторонами $m, n, 2l$ можно найти по формуле Герона.

Сначала найдем полупериметр $p$ треугольника $ACE$:

$p = \frac{m+n+2l}{2}$

Теперь применим формулу Герона для площади $S$:

$S = \sqrt{p(p-m)(p-n)(p-2l)}$

Подставим выражение для полупериметра:

$S = \sqrt{\frac{m+n+2l}{2} \left(\frac{m+n+2l}{2}-m\right) \left(\frac{m+n+2l}{2}-n\right) \left(\frac{m+n+2l}{2}-2l\right)}$

$S = \sqrt{\frac{m+n+2l}{2} \cdot \frac{m+n+2l-2m}{2} \cdot \frac{m+n+2l-2n}{2} \cdot \frac{m+n+2l-4l}{2}}$

$S = \sqrt{\frac{m+n+2l}{2} \cdot \frac{n-m+2l}{2} \cdot \frac{m-n+2l}{2} \cdot \frac{m+n-2l}{2}}$

$S = \frac{1}{4}\sqrt{(m+n+2l)(n-m+2l)(m-n+2l)(m+n-2l)}$

Это и есть формула для площади трапеции через ее диагонали и среднюю линию.

Ответ: $\frac{1}{4}\sqrt{(m+n+2l)(m+n-2l)(m-n+2l)(n-m+2l)}$.