Номер 575, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

575. Прямые, проходящие через вершины $C$ и $D$ четырехугольника $ABCD$ и соответственно параллельные прямым $BD$ и $BC$, пересекаются в точке $E$. Докажите, что треугольник $ACE$ равновелик данному четырехугольнику.

Доказательство

Обозначим площадь фигуры $F$ как $S_F$. Нам требуется доказать, что площадь четырехугольника $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$, то есть $S_{ABCD} = S_{ACE}$.

По условию задачи, через вершину $C$ проведена прямая, параллельная диагонали $BD$, а через вершину $D$ — прямая, параллельная стороне $BC$. Эти прямые пересекаются в точке $E$. Таким образом, мы имеем две пары параллельных прямых: $CE \parallel BD$ и $DE \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BCED$. Так как его противолежащие стороны $BC$ и $DE$, а также $BD$ и $CE$ попарно параллельны, то $BCED$ является параллелограммом. (Примечание: в общем случае это будет параллелограмм $BCDE$ или $BCED$ в зависимости от расположения вершин. Условие $CE \parallel BD$ и $DE \parallel BC$ однозначно определяет $BCED$ как параллелограмм).

Свойство параллелограмма можно выразить векторным равенством. Например, $\vec{DE} = \vec{BC}$. В координатах это означает $\vec{E} - \vec{D} = \vec{C} - \vec{B}$, откуда получаем положение точки $E$: $\vec{E} = \vec{D} + \vec{C} - \vec{B}$.

Теперь рассмотрим площади. Площадь треугольника $\triangle ACE$ можно выразить через длину его основания $AC$ и высоту $h_E$, опущенную из вершины $E$ на прямую $AC$: $S_{ACE} = \frac{1}{2} |AC| \cdot h_E$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ зависит от его формы. Рассмотрим два возможных случая.

1. Четырехугольник $ABCD$ выпуклый.
В этом случае диагональ $AC$ разделяет две другие вершины $B$ и $D$, которые лежат по разные стороны от прямой $AC$. Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2} |AC| \cdot h_B + \frac{1}{2} |AC| \cdot h_D = \frac{1}{2} |AC| (h_B + h_D)$,где $h_B$ и $h_D$ — высоты, опущенные из вершин $B$ и $D$ на прямую $AC$. Для доказательства равенства $S_{ABCD} = S_{ACE}$ нам нужно показать, что $h_E = h_B + h_D$.

2. Четырехугольник $ABCD$ невыпуклый (вогнутый).
В этом случае вершины $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Площадь четырехугольника равна разности площадей треугольников, на которые его делит диагональ $AC$:$S_{ABCD} = |S_{ADC} - S_{ABC}| = \frac{1}{2} |AC| \cdot |h_D - h_B|$. Для доказательства нам нужно показать, что $h_E = |h_D - h_B|$.

Чтобы доказать эти соотношения для высот, воспользуемся методом координат. Разместим систему координат так, чтобы прямая $AC$ совпала с осью абсцисс ($Ox$), а точка $A$ — с началом координат. Тогда $A=(0,0)$, $C=(c,0)$. Высота любой точки $P(x_p, y_p)$ до прямой $AC$ будет равна $|y_p|$.

Из векторного равенства $\vec{E} = \vec{D} + \vec{C} - \vec{B}$ получаем равенства для координат:$x_E = x_D + x_C - x_B$$y_E = y_D + y_C - y_B$Поскольку $y_C=0$ (точка $C$ лежит на оси $Ox$), равенство для ординат упрощается:$y_E = y_D - y_B$.

Теперь проверим оба случая:

В случае 1 (выпуклый четырехугольник), точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от оси $Ox$, поэтому их ординаты $y_B$ и $y_D$ имеют противоположные знаки. Пусть $y_B > 0$ и $y_D < 0$. Тогда $h_B = y_B$ и $h_D = -y_D$. Нам нужно доказать, что $h_E = h_B + h_D = y_B - y_D$. Высота $h_E = |y_E| = |y_D - y_B| = |-(y_B - y_D)| = |y_B - y_D|$. Поскольку $y_B > 0$ и $y_D < 0$, разность $y_B - y_D$ всегда положительна. Следовательно, $|y_B - y_D| = y_B - y_D$. Равенство $h_E = h_B+h_D$ доказано.

В случае 2 (невыпуклый четырехугольник), точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от оси $Ox$, поэтому их ординаты имеют одинаковый знак. Пусть $y_B > 0$ и $y_D > 0$. Тогда $h_B = y_B$ и $h_D = y_D$. Нам нужно доказать, что $h_E = |h_D - h_B|$. Высота $h_E = |y_E| = |y_D - y_B|$. Это в точности совпадает с тем, что требовалось доказать.

Так как в обоих случаях соотношение между высотами приводит к равенству площадей, мы доказали, что площадь треугольника $ACE$ равна площади четырехугольника $ABCD$.

Ответ: Доказано, что треугольник $ACE$ равновелик данному четырехугольнику $ABCD$.