Номер 576, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

576. Через середину каждой диагонали четырехугольника провели прямую, параллельную другой диагонали, и через точку пересечения этих прямых и середину каждой стороны четырехугольника провели прямые. Докажите, что они разделили четырехугольник на равновеликие четырехугольники.

Обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D. Пусть K, L, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Пусть M — середина диагонали AC, а N — середина диагонали BD.

По условию, через точку M проведена прямая $l_1$, параллельная диагонали BD, а через точку N — прямая $l_2$, параллельная диагонали AC. Точка O — это точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.

Четыре прямые OK, OL, OP, OQ разделяют исходный четырехугольник ABCD на четыре четырехугольника: AKOQ, BLOK, CPLO и DQOP. Нам необходимо доказать, что эти четыре четырехугольника равновелики, то есть имеют одинаковую площадь.

Площадь каждого из этих четырехугольников можно выразить как сумму площадей двух треугольников. Обозначим площадь фигуры F как $S(F)$.

• $S(AKOQ) = S(AOK) + S(AOQ)$
• $S(BLOK) = S(BOL) + S(BOK)$
• $S(CPLO) = S(COL) + S(COP)$
• $S(DQOP) = S(DOQ) + S(DOP)$

Поскольку K, L, P, Q — середины сторон, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Следовательно:

• $S(AOK) = S(BOK)$ (OK — медиана в $\triangle AOB$)
• $S(BOL) = S(COL)$ (OL — медиана в $\triangle BOC$)
• $S(COP) = S(DOP)$ (OP — медиана в $\triangle COD$)
• $S(DOQ) = S(AOQ)$ (OQ — медиана в $\triangle AOD$)

Используя эти равенства, мы можем переписать площади четырехугольников:

• $S(AKOQ) = S(AOK) + S(AOQ)$
• $S(BLOK) = S(AOK) + S(BOL)$
• $S(CPLO) = S(BOL) + S(COP)$
• $S(DQOP) = S(COP) + S(AOQ)$

Из этих выражений видно, что для доказательства равенства площадей $S(AKOQ) = S(BLOK) = S(CPLO) = S(DQOP)$ достаточно доказать следующие два равенства: $S(AOQ) = S(BOL)$ и $S(AOK) = S(COP)$.

Учитывая, что $S(AOQ) = \frac{1}{2}S(AOD)$, $S(BOL) = \frac{1}{2}S(BOC)$, $S(AOK) = \frac{1}{2}S(AOB)$ и $S(COP) = \frac{1}{2}S(COD)$, задача сводится к доказательству равенств:
1) $S(AOD) = S(BOC)$
2) $S(AOB) = S(COD)$

Докажем эти равенства, используя метод векторов. Выберем точку O в качестве начала координат. Тогда A, B, C, D — это радиус-векторы вершин четырехугольника.

Радиус-вектор точки M (середины AC) равен $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$.
Радиус-вектор точки N (середины BD) равен $\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$.

По определению, точка O лежит на прямой, проходящей через M и параллельной BD. Это означает, что вектор $\vec{OM}$ параллелен вектору $\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B}$. Так как O — начало координат, $\vec{OM} = \vec{M}$. Условие параллельности векторов $\vec{M}$ и $\vec{D} - \vec{B}$ можно записать с помощью векторного произведения (которое равно нулевому вектору для коллинеарных векторов):
$\vec{M} \times (\vec{D} - \vec{B}) = \vec{0}$
$\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \times (\vec{D} - \vec{B}) = \vec{0}$
$(\vec{A} + \vec{C}) \times (\vec{D} - \vec{B}) = \vec{0}$
Раскрывая скобки по свойству дистрибутивности векторного произведения, получаем:
$\vec{A} \times \vec{D} - \vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{D} - \vec{C} \times \vec{B} = \vec{0}$ (1)

Аналогично, точка O лежит на прямой, проходящей через N и параллельной AC. Это означает, что вектор $\vec{ON} = \vec{N}$ параллелен вектору $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$.
$\vec{N} \times (\vec{C} - \vec{A}) = \vec{0}$
$\frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} \times (\vec{C} - \vec{A}) = \vec{0}$
$(\vec{B} + \vec{D}) \times (\vec{C} - \vec{A}) = \vec{0}$
$\vec{B} \times \vec{C} - \vec{B} \times \vec{A} + \vec{D} \times \vec{C} - \vec{D} \times \vec{A} = \vec{0}$ (2)

Используя свойство антикоммутативности векторного произведения ($\vec{X} \times \vec{Y} = - \vec{Y} \times \vec{X}$), перепишем уравнение (2):
$\vec{B} \times \vec{C} + \vec{A} \times \vec{B} - \vec{C} \times \vec{D} + \vec{A} \times \vec{D} = \vec{0}$ (2')

Теперь сложим уравнения (1) и (2'):
$(\vec{A} \times \vec{D} - \vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{D} - \vec{C} \times \vec{B}) + (\vec{B} \times \vec{C} + \vec{A} \times \vec{B} - \vec{C} \times \vec{D} + \vec{A} \times \vec{D}) = \vec{0}$
Сгруппируем подобные члены:
$(\vec{A} \times \vec{D} + \vec{A} \times \vec{D}) + (-\vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{B}) + (\vec{C} \times \vec{D} - \vec{C} \times \vec{D}) + (-\vec{C} \times \vec{B} + \vec{B} \times \vec{C}) = \vec{0}$
$2(\vec{A} \times \vec{D}) + \vec{0} + \vec{0} - 2(\vec{C} \times \vec{B}) = \vec{0}$
$\vec{A} \times \vec{D} = \vec{C} \times \vec{B}$

Модуль векторного произведения двух векторов равен удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах. Таким образом, $| \vec{A} \times \vec{D} | = 2 S(AOD)$ и $| \vec{C} \times \vec{B} | = 2 S(COB) = 2 S(BOC)$. Следовательно, мы доказали первое равенство: $S(AOD) = S(BOC)$.

Теперь подставим полученный результат $\vec{C} \times \vec{B} = \vec{A} \times \vec{D}$ в исходное уравнение (1):
$\vec{A} \times \vec{D} - \vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{D} - (\vec{A} \times \vec{D}) = \vec{0}$
$-\vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{D} = \vec{0}$
$\vec{C} \times \vec{D} = \vec{A} \times \vec{B}$

Это означает, что $2 S(COD) = 2 S(AOB)$, и, следовательно, $S(COD) = S(AOB)$. Мы доказали второе равенство.

Итак, мы установили, что $S(AOB) = S(COD)$ и $S(BOC) = S(AOD)$. Обозначим $S(AOB) = S_1$ и $S(BOC) = S_2$. Тогда $S(COD) = S_1$ и $S(AOD) = S_2$. Вернемся к площадям четырех четырехугольников, используя выражения $S(AOK) = \frac{1}{2}S(AOB)$, $S(BOL) = \frac{1}{2}S(BOC)$ и т.д.:

• $S(AKOQ) = S(AOK) + S(AOQ) = \frac{1}{2}S(AOB) + \frac{1}{2}S(AOD) = \frac{1}{2}(S_1 + S_2)$
• $S(BLOK) = S(BOK) + S(BOL) = \frac{1}{2}S(AOB) + \frac{1}{2}S(BOC) = \frac{1}{2}(S_1 + S_2)$
• $S(CPLO) = S(COL) + S(COP) = \frac{1}{2}S(BOC) + \frac{1}{2}S(COD) = \frac{1}{2}(S_2 + S_1)$
• $S(DQOP) = S(DOQ) + S(DOP) = \frac{1}{2}S(AOD) + \frac{1}{2}S(COD) = \frac{1}{2}(S_2 + S_1)$

Все четыре площади равны. Таким образом, прямые, проведенные из точки O к серединам сторон четырехугольника, разделяют его на четыре равновеликих четырехугольника.

Ответ: Утверждение задачи доказано.