Номер 573, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

573. M, N, O, P — такие точки сторон четырехугольника ABCD, что $AM : BM = 3 : 5$, $BN : CN = 1 : 3$, $CO : OD = 4 : 5$, $DP : AP = 1 : 8$. Определите, какую часть площадь шестиугольника MBNODP (рис. 403) составляет от площади данного четырехугольника, и установите, при любых ли отношениях $AM : BM$, $BN : CN$, $CO : OD$, $DP : AP$ задача имеет решение.

Рис. 403

Определите, какую часть площадь шестиугольника MBNODP (рис. 403) составляет от площади данного четырехугольника

Площадь шестиугольника $S_{MBNODP}$ можно найти, вычтя из площади четырехугольника $S_{ABCD}$ площади двух треугольников по углам: $\triangle AMP$ и $\triangle CNO$.
$S_{MBNODP} = S_{ABCD} - S_{AMP} - S_{CNO}$.

Площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ можно представить как сумму площадей треугольников, на которые его разбивает диагональ $AC$ или $BD$. Выберем диагональ $BD$. Тогда $S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD}$.

1. Найдем отношение площади $\triangle AMP$ к площади $\triangle ABD$.
Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними:
$S_{AMP} = \frac{1}{2} AM \cdot AP \cdot \sin(\angle A)$
$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)$
Следовательно, отношение их площадей равно:
$\frac{S_{AMP}}{S_{ABD}} = \frac{\frac{1}{2} AM \cdot AP \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AP}{AD}$
Из условия задачи имеем:
$AM : BM = 3 : 5 \implies AM = \frac{3}{3+5} AB = \frac{3}{8} AB \implies \frac{AM}{AB} = \frac{3}{8}$
$DP : AP = 1 : 8 \implies AP = \frac{8}{1+8} AD = \frac{8}{9} AD \implies \frac{AP}{AD} = \frac{8}{9}$
Подставим эти значения в формулу для отношения площадей:
$\frac{S_{AMP}}{S_{ABD}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Таким образом, $S_{AMP} = \frac{1}{3} S_{ABD}$.

2. Найдем отношение площади $\triangle CNO$ к площади $\triangle CBD$.
Примечание: В условии задачи указано отношение $CO : PO = 4 : 5$. Точка $O$ лежит на стороне $CD$, а точка $P$ — на стороне $DA$. Отрезок $PO$ не является частью стороны четырехугольника. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду отношение $CO : OD = 4 : 5$. Будем исходить из этого предположения.
Аналогично первому пункту:
$S_{CNO} = \frac{1}{2} CN \cdot CO \cdot \sin(\angle C)$
$S_{CBD} = \frac{1}{2} CB \cdot CD \cdot \sin(\angle C)$
Отношение их площадей:
$\frac{S_{CNO}}{S_{CBD}} = \frac{CN}{CB} \cdot \frac{CO}{CD}$
Из условия задачи:
$BN : CN = 1 : 3 \implies CN = \frac{3}{1+3} CB = \frac{3}{4} CB \implies \frac{CN}{CB} = \frac{3}{4}$
$CO : OD = 4 : 5 \implies CO = \frac{4}{4+5} CD = \frac{4}{9} CD \implies \frac{CO}{CD} = \frac{4}{9}$
Подставим эти значения:
$\frac{S_{CNO}}{S_{CBD}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Таким образом, $S_{CNO} = \frac{1}{3} S_{CBD}$.

3. Вычислим итоговую площадь шестиугольника.
$S_{MBNODP} = S_{ABCD} - S_{AMP} - S_{CNO} = (S_{ABD} + S_{CBD}) - \frac{1}{3} S_{ABD} - \frac{1}{3} S_{CBD}$
$S_{MBNODP} = (1 - \frac{1}{3})S_{ABD} + (1 - \frac{1}{3})S_{CBD} = \frac{2}{3} S_{ABD} + \frac{2}{3} S_{CBD}$
$S_{MBNODP} = \frac{2}{3} (S_{ABD} + S_{CBD}) = \frac{2}{3} S_{ABCD}$

Ответ: Площадь шестиугольника $MBNODP$ составляет $\frac{2}{3}$ от площади данного четырехугольника.

установите, при любых ли отношениях AM : BM, BN : CN, CO : DO, DP : AP задача имеет решение

Задача имеет однозначное решение (то есть отношение площадей не зависит от конкретной формы четырехугольника $ABCD$) не при любых отношениях.
Рассмотрим общий случай. Пусть $AM : BM = a : b$, $BN : CN = c : d$, $CO : DO = e : f$, $DP : AP = g : h$.
Тогда отношения площадей вырезанных треугольников к соответствующим частям четырехугольника равны:
$\frac{S_{AMP}}{S_{ABD}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AP}{AD} = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{h}{g+h}$
$\frac{S_{CNO}}{S_{CBD}} = \frac{CN}{CB} \cdot \frac{CO}{CD} = \frac{d}{c+d} \cdot \frac{e}{e+f}$
Площадь шестиугольника выражается как:
$S_{MBNODP} = S_{ABCD} - S_{AMP} - S_{CNO} = (S_{ABD} + S_{CBD}) - (\frac{a}{a+b} \cdot \frac{h}{g+h})S_{ABD} - (\frac{d}{c+d} \cdot \frac{e}{e+f})S_{CBD}$
$S_{MBNODP} = (1 - \frac{a h}{(a+b)(g+h)}) S_{ABD} + (1 - \frac{d e}{(c+d)(e+f)}) S_{CBD}$
Чтобы отношение $\frac{S_{MBNODP}}{S_{ABCD}} = \frac{S_{MBNODP}}{S_{ABD} + S_{CBD}}$ было постоянной величиной, не зависящей от соотношения между $S_{ABD}$ и $S_{CBD}$ (то есть от формы четырехугольника), необходимо, чтобы коэффициенты при $S_{ABD}$ и $S_{CBD}$ были равны:
$1 - \frac{a h}{(a+b)(g+h)} = 1 - \frac{d e}{(c+d)(e+f)}$
Это равносильно условию:
$\frac{a}{a+b} \cdot \frac{h}{g+h} = \frac{d}{c+d} \cdot \frac{e}{e+f}$
Или, в других терминах:
$\frac{AM}{AB} \cdot \frac{AP}{AD} = \frac{CN}{BC} \cdot \frac{CO}{CD}$
Только при выполнении этого условия задача имеет однозначное решение для произвольного выпуклого четырехугольника. В конкретных числах, данных в задаче, это условие выполняется, как мы видели в первой части ($ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $), поэтому решение существует и оно единственно. Однако для произвольного набора отношений это не так.

Ответ: Задача имеет решение не при любых отношениях, а только при выполнении условия $\frac{AM}{AB} \cdot \frac{AP}{AD} = \frac{CN}{BC} \cdot \frac{CO}{CD}$.