Номер 561, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

561. Найдите все такие внутренние точки $X$ треугольника $ABC$, что треугольники $XAB$ и $XAC$ равновелики.

Пусть X — внутренняя точка треугольника ABC. По условию задачи, треугольники XAB и XAC равновелики, то есть их площади равны. Обозначим площадь треугольника как $S$. Таким образом, условие задачи можно записать как:

$S_{XAB} = S_{XAC}$

Рассмотрим треугольники XAB и XAC. У них есть общая сторона AX. Примем эту сторону за основание для обоих треугольников.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Для треугольника XAB основанием является сторона AX. Высотой, проведенной из вершины B к прямой, содержащей основание AX, будет перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую AX. Обозначим длину этой высоты как $h_B$. Тогда площадь треугольника XAB равна:

$S_{XAB} = \frac{1}{2} \cdot AX \cdot h_B$

Аналогично, для треугольника XAC основанием является та же сторона AX. Высотой, проведенной из вершины C к прямой AX, будет перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую AX. Обозначим длину этой высоты как $h_C$. Тогда площадь треугольника XAC равна:

$S_{XAC} = \frac{1}{2} \cdot AX \cdot h_C$

Приравнивая выражения для площадей в соответствии с условием задачи, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot AX \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AX \cdot h_C$

Поскольку X — внутренняя точка треугольника, она не совпадает с вершиной A, поэтому длина отрезка AX строго больше нуля ($AX > 0$). Следовательно, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2} \cdot AX$ и получить:

$h_B = h_C$

Это равенство означает, что расстояние от точки B до прямой AX равно расстоянию от точки C до прямой AX. Поскольку X является внутренней точкой треугольника ABC, вершины B и C лежат по разные стороны от прямой AX. Если две точки (B и C) равноудалены от прямой (AX) и лежат по разные стороны от нее, то эта прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки (BC).

Пусть M — середина стороны BC. Тогда из вышесказанного следует, что прямая AX должна проходить через точку M. Это означает, что точка X должна лежать на отрезке AM. Отрезок AM является медианой треугольника ABC, проведенной из вершины A.

По условию, X — внутренняя точка треугольника ABC. Это накладывает ограничения на положение точки X на медиане AM. Точка X не может совпадать с концами медианы: точка A является вершиной, а не внутренней точкой треугольника; точка M лежит на стороне BC, то есть на границе треугольника, и также не является внутренней точкой.

Следовательно, искомое множество точек X — это все точки медианы AM, расположенные строго между точками A и M.

Для полноты решения докажем и обратное утверждение: любая точка X на медиане AM (кроме ее концов) удовлетворяет условию задачи.

Пусть M — середина BC. Тогда $BM = MC$.

Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У них равные основания ($BM = MC$) и общая высота, опущенная из вершины A на сторону BC. Следовательно, их площади равны: $S_{ABM} = S_{ACM}$.

Аналогично, рассмотрим треугольники XBM и XCM. У них также равные основания ($BM = MC$) и общая высота, опущенная из точки X на сторону BC. Следовательно, их площади также равны: $S_{XBM} = S_{XCM}$.

Поскольку точка X лежит на отрезке AM, площадь треугольника XAB можно представить как разность площадей:

$S_{XAB} = S_{ABM} - S_{XBM}$

Аналогично для треугольника XAC:

$S_{XAC} = S_{ACM} - S_{XCM}$

Так как $S_{ABM} = S_{ACM}$ и $S_{XBM} = S_{XCM}$, то и разности этих площадей равны: $S_{XAB} = S_{XAC}$. Утверждение доказано.

Ответ: Искомое множество точек — это все внутренние точки медианы треугольника ABC, проведенной из вершины A. Другими словами, это отрезок, соединяющий вершину A с серединой стороны BC, за исключением его конечных точек.