Номер 555, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

555. Точка $P$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ делит ее в отношении $m : n$, а точки $Q$ и $R$ сторону $BC$ — в отношении $i : j : k$. Найдите, в каком отношении площадь треугольника разделяется прямыми $PQ$ и $PR$.

Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$. Согласно условию задачи, точка $P$ делит сторону $AB$ в отношении $AP:PB = m:n$, а точки $Q$ и $R$ делят сторону $BC$ в отношении $BQ:QR:RC = i:j:k$. Прямые $PQ$ и $PR$ разделяют треугольник $ABC$ на три части: треугольник $PBQ$, треугольник $PQR$ и четырехугольник $APRC$. Найдем отношение их площадей.

Воспользуемся свойством, что отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

Рассмотрим треугольники $PBC$ и $APC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AB$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований $PB$ и $AP$:$$ \frac{S_{PBC}}{S_{APC}} = \frac{PB}{AP} = \frac{n}{m} $$Поскольку $S_{ABC} = S_{PBC} + S_{APC} = S$, мы можем выразить площади этих треугольников через $S$:$$ S_{PBC} = \frac{n}{m+n}S \quad \text{и} \quad S_{APC} = \frac{m}{m+n}S $$

Теперь рассмотрим треугольники $PBQ$, $PQR$ и $PRC$. Они имеют общую вершину $P$, а их основания $BQ$, $QR$ и $RC$ лежат на одной прямой $BC$. Значит, их площади относятся как длины оснований:$$ S_{PBQ} : S_{PQR} : S_{PRC} = BQ:QR:RC = i:j:k $$Сумма их площадей равна $S_{PBC}$, поэтому мы можем выразить площадь каждой из этих частей через $S_{PBC}$, а затем через $S$.

Площадь первой части (треугольник $PBQ$):$$ S_1 = S_{PBQ} = \frac{i}{i+j+k} S_{PBC} = \frac{i}{i+j+k} \cdot \frac{n}{m+n}S = \frac{ni}{(m+n)(i+j+k)}S $$

Площадь второй части (треугольник $PQR$):$$ S_2 = S_{PQR} = \frac{j}{i+j+k} S_{PBC} = \frac{j}{i+j+k} \cdot \frac{n}{m+n}S = \frac{nj}{(m+n)(i+j+k)}S $$

Площадь третьей части (четырехугольник $APRC$):Площадь этой части равна сумме площадей треугольников $APC$ и $PRC$. Площадь $S_{APC}$ мы уже нашли. Площадь $S_{PRC}$ найдем аналогично первым двум:$$ S_{PRC} = \frac{k}{i+j+k} S_{PBC} = \frac{k}{i+j+k} \cdot \frac{n}{m+n}S = \frac{nk}{(m+n)(i+j+k)}S $$Теперь сложим площади $S_{APC}$ и $S_{PRC}$:$$ S_3 = S_{APRC} = S_{APC} + S_{PRC} = \frac{m}{m+n}S + \frac{nk}{(m+n)(i+j+k)}S $$Приводя к общему знаменателю $(m+n)(i+j+k)$, получаем:$$ S_3 = \left(\frac{m(i+j+k)}{(m+n)(i+j+k)} + \frac{nk}{(m+n)(i+j+k)}\right)S = \frac{m(i+j+k) + nk}{(m+n)(i+j+k)}S $$

Итак, мы нашли площади трех частей, на которые прямые $PQ$ и $PR$ делят треугольник $ABC$. Отношение этих площадей $S_1:S_2:S_3$ равно отношению коэффициентов при $S$ в полученных формулах.

$S_1 : S_2 : S_3 = \frac{ni}{(m+n)(i+j+k)} : \frac{nj}{(m+n)(i+j+k)} : \frac{m(i+j+k) + nk}{(m+n)(i+j+k)}$

Умножив все части отношения на общий знаменатель $(m+n)(i+j+k)$, получим:

$S_1 : S_2 : S_3 = ni : nj : (m(i+j+k) + nk)$

Ответ: Площадь треугольника $ABC$ разделяется прямыми $PQ$ и $PR$ на три части (треугольник $PBQ$, треугольник $PQR$ и четырехугольник $APRC$), площади которых относятся как $ni : nj : (m(i+j+k) + nk)$.