Номер 556, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

556. Из треугольника $ABC$ со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вырезан треугольник $KLM$, площадь которого составляет шестнадцатую долю площади треугольника $ABC$, а стороны параллельны сторонам треугольника $ABC$ и равноудалены от них (рис. 398). Найдите расстояние между параллельными сторонами треугольников.

1. Установление подобия треугольников и нахождение коэффициента подобия

Поскольку стороны треугольника $KLM$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $ABC$ ($KL \parallel AB$, $LM \parallel BC$, $MK \parallel AC$), то треугольник $KLM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle KLM \sim \triangle ABC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $$ \frac{S_{KLM}}{S_{ABC}} = k^2 $$ По условию задачи, площадь треугольника $KLM$ составляет шестнадцатую долю площади треугольника $ABC$, то есть $\frac{S_{KLM}}{S_{ABC}} = \frac{1}{16}$.

Отсюда находим коэффициент подобия: $$ k^2 = \frac{1}{16} \implies k = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} $$

2. Вычисление площади и радиуса вписанной окружности треугольника ABC

Искомое расстояние между параллельными сторонами связано с радиусами вписанных окружностей этих треугольников. Для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника $ABC$ сначала найдем его полупериметр и площадь.

Стороны треугольника $ABC$ равны $a = 13$ см, $b = 37$ см и $c = 40$ см.

Полупериметр $p$ равен: $$ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13 + 37 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45 \text{ см} $$

Площадь $S_{ABC}$ найдем по формуле Герона: $$ S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ $$ S_{ABC} = \sqrt{45(45-13)(45-37)(45-40)} = \sqrt{45 \cdot 32 \cdot 8 \cdot 5} $$ $$ S_{ABC} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 2) \cdot 8 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 16} = 3 \cdot 5 \cdot 16 = 240 \text{ см}^2 $$

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, вычисляется по формуле: $$ r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{240}{45} = \frac{16}{3} \text{ см} $$

3. Нахождение расстояния между параллельными сторонами

Условие, что стороны треугольника $KLM$ равноудалены от параллельных им сторон треугольника $ABC$, означает, что центры вписанных окружностей у этих треугольников совпадают. Пусть это будет точка $I$.

Тогда расстояние от центра $I$ до стороны $AC$ равно радиусу $r$ вписанной окружности $\triangle ABC$, а расстояние от центра $I$ до стороны $MK$ равно радиусу $r_{KLM}$ вписанной окружности $\triangle KLM$.

Искомое расстояние $d$ между параллельными сторонами $AC$ и $MK$ равно разности этих радиусов: $$ d = r - r_{KLM} $$

Отношение радиусов вписанных окружностей подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $$ \frac{r_{KLM}}{r} = k = \frac{1}{4} $$ Следовательно, $r_{KLM} = \frac{1}{4}r$.

Подставим это в формулу для $d$: $$ d = r - \frac{1}{4}r = \frac{3}{4}r $$

Теперь вычислим значение $d$, подставив найденный ранее радиус $r = \frac{16}{3}$ см: $$ d = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 3} = \frac{16}{4} = 4 \text{ см} $$

Ответ: 4 см.